“平方”套“平方”——这类积分你会算吗？

题目 02

$$
I=\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=?
$$

解析 02

解法一

令：

$$
x=2 \tan \theta \Rightarrow \mathrm{~ d} x=2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

则：

$$
I=\int \frac{1}{\left(4+4 \tan ^{2} \theta\right)^{2}} \cdot 2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1}{16\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}} \cdot 2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{4} \theta \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{2} \theta \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \int(1+\cos 2 \theta) \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right] \Rightarrow I=\frac{1}{16}[\theta+\sin \theta \cos \theta]
$$

又：

$$
x=2 \tan \theta \Rightarrow \frac{x}{2}=\tan \theta \Rightarrow \theta=\arctan \left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+
$$

$$
\sin \left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\right] \times \cos \left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\right] +C \Rightarrow
$$

又由 这篇文章 可知：

$$
I=\frac{1}{16}\left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{4+x^{2}}} \right] + C \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8} \frac{x}{4+x^{2}} + C
$$

解法二

$$
I=\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1}{\left[4\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right)\right]^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \times 2 \int \frac{1}{\left[1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right]^{2}} \mathrm{~ d}\left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

令：

$$
\frac{x}{2}=\tan ^{2} \Rightarrow t=\arctan \left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=1+\tan ^{2} t=\frac{1}{\cos s^{2} t}
$$

$$
\mathrm{~ d}\left(\frac{x}{2}\right)=\mathrm{~ d} (\tan t)=\frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

则：

$$
I=\frac{1}{8} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos ^{4} t}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t=\frac{1}{8} \times \frac{1}{2} \int(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16}[t+\sin 2 t]+c \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} t+\frac{2}{16} \sin t \cos t+c \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8} \frac{x}{4+x^{2}}+c .
$$

解法三

对于这类“平方嵌套平方”的积分，甚至“$n$ 次方嵌套平方”的积分，我们还可以直接套用下面的这个公式，只是这个公式有一点复杂：

$$
\int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n}}=
$$

$$
\frac{x}{2(n-1) a^{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}+\frac{2 n-3}{2(n-1) a^{2}} \int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}
$$

---