高等数学

八、解答题 (本题满分 8 分)

设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续导数, 且 $m \leqslant f(x) \leqslant M$.

(1) 求 $\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{d} t$

积分中值定理，存在 $\xi \in[-a, a]$, 使得：

$$
\int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{~ d} t=
$$

$$
[a-(-a)][f(\xi+a)-f(\xi-a)]=
$$

$$
2 a[f(\xi+a)-f(\xi-a)]
$$

又由拉格朗日中值定理, 存在 $c \in(\xi-a, \xi+a)$, 使得：

$$
\frac{f(\xi+a)-f(\xi-a)}{(\xi+a)-(\xi-a)}=f^{\prime}(c) \Rightarrow
$$

$$
f(\xi+a)-f(\xi-a)=2 a f^{\prime}(c) \Rightarrow
$$

$$
\int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{~ d} t=4 a^{2} f^{\prime}(c) \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(c)=\lim \limits_{c \rightarrow 0} f^{\prime}(c)=f^{\prime}(0)
$$

(2) 证明 $\left|\frac{1}{2 a} \int_{-a}^{a} f(t) \mathrm{d} t-f(x)\right| \leqslant M-m(a>0)$.

$$
m \leqslant f(x) \leqslant M \Rightarrow
$$

$$
2 a m \leqslant \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x \leqslant 2 a M \Rightarrow
$$

$$
m \leqslant \frac{1}{2 a} \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x \leqslant m \tag{1}
$$

又：

$$
-M \leqslant-f(x) \leqslant-m \tag{2}
$$

联立 $(1)$, $(2)$ 可得：

$$
-(M-m) \leqslant \frac{1}{2 a} \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x-f(x) \leqslant M-m
$$

$$
\left|\frac{1}{2 \alpha} \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x-f(x)\right| \leqslant M-m \quad(a>0)
$$

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

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十、解答题 (本题满分 10 分)

在第一象限内求曲线 $y=-x^{2}+1$ 上的一点, 使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小, 并求此最小面积.

根据题目，我们可以绘制出如图 02 所示的示意图：

设切点为 $\left(x_{1}, y_{1}\right)$, 则：

$$
y=-x^{2}+1 \Rightarrow y^{\prime}=-2 x \Rightarrow
$$

即斜率为：

$$
k=-2 x_{1}
$$

对应的切线为：

$$
y-y_{1}=-2 x_{1}\left(x-x_{1}\right)
$$

在 $x$ 轴上的截距为：

$$
x=0 \Rightarrow b=y=2 x_{1}^{2}+y_{1}=2 x_{1}^{2}+\left(-x_{1}^{2}+1\right) \Rightarrow
$$

$$
b=x_{1}^{2}+1
$$

在 $y$ 轴上的截距为：

$$
y=0 \Rightarrow-y_{1}=-2 x_{1}\left(a-x_{1}\right) \Rightarrow
$$

$$
-y_{1}=-2 a x_{1}+2 x_{1}^{2} \Rightarrow x_{1}^{2}-1=-2 a x_{1}+2 x_{1}^{2}
$$

$$
2 a x_{1}=x_{1}^{2}+1 \Rightarrow
$$

$$
a=\frac{x_{1}^{2}+1}{2 x_{1}}
$$

于是，要求解的三角形的面积表达式为：

$$
S=\frac{1}{2} a b=\frac{\left(x_{1}^{2}+1\right)^{2}}{4 x_{1}}
$$

一阶导等于零的点为：

$$
S^{\prime}\left(x_{1}\right)=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{2\left(x_{1}^{2}+1\right) \cdot 2 x_{1} \cdot 4 x_{1}-4\left(x_{1}^{2}+1\right)^{2}}{16 x_{1}^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
16 x_{1}^{2}\left(x_{1}^{2}+1\right)-4\left(x_{1}^{2}+1\right)^{2}=0 \Rightarrow
$$

$$
4 x_{1}^{2}\left(x_{1}^{2}+1\right)-\left(x_{1}^{2}+1\right)^{2}=0
$$

$$
\left(x_{1}^{2}+1\right)\left[4 x_{1}^{2}-\left(x_{1}^{2}+1\right)\right]=0 \Rightarrow
$$

$$
4 x_{1}^{2}=\left(x_{1}^{2}+1\right) \Rightarrow x_{1}^{2}=1 \Rightarrow
$$

$$
x_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}, \ x_{1}=\frac{-1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \text{ 舍去 }
$$

接着求解二阶导，只要一阶导中等于零的点在二阶导中大于零，就能说明这是一个极小值点（由于只有 $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 这一个极值点，因此，在考试的时候，我们可以直接写出 $S^{\prime \prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) > 0$ 这一个结论——因为 $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 一定是要找的极小值点）：

$$
S^{\prime}(x)=\frac{2\left(x^{2}+1\right) \cdot 8 x^{2}-4(x+1)^{2}}{16 x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
S^{\prime}(x)=\frac{16 x^{2}\left(x^{2}+1\right)-4(x+1)^{2}}{16 x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
S^{\prime}(x)=\left(x^{2}+1\right)-\frac{(x+1)^{2}}{4 x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
S^{\prime \prime}(x)=2 x-\frac{2(x+1) \cdot 4 x^{2}-8 x(x+1)^{2}}{16 x^{4}}
$$

$$
x=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow
$$

$$
S^{\prime \prime}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right) \cdot \frac{4}{3}-\frac{8}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)^{2}}{16 \times \frac{1}{9}}>{0}
$$

于是可知，最小的面积为：

$$
S – \int_{0}^{1} (-x^{2} + 1) \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\frac{\left(x_{1}^{2}+1\right)^{2}}{4 x_{1}} – \int_{0}^{1} (-x^{2} + 1) \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\frac{4 \sqrt{3}}{9} – \frac{2}{3}.
$$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

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极值点的一阶导等于零，但一阶导等于零的点不一定是极值点

解题方法：变上限积分几乎一定会涉及求导，而分部积分中刚好有求导的步骤，因此，含有变上限积分的题目，通常需要先凑分部积分。

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x=\left.x f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\int_{0}^{1} \textcolor{springgreen}{ x } \left[\int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t+x \cdot \frac{\sin x^{2}}{x}\right] \mathrm{~ d} x
$$

别忘了把括号外面的 “$\textcolor{springgreen}{ x }$” 乘进去：

$$
I=-\int_{0}^{1}\left[\textcolor{springgreen}{ x } \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t\right] \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} \textcolor{springgreen}{ x } \sin x^{2} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} x \sin x^{2} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin x^{2} \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\left.\frac{+1}{4} \cos x^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\cos 1-\cos 0}{4} \Rightarrow
$$

$$
I = \frac{\cos 1 – 1}{4}
$$

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考研数学不定积分补充例题

题目 08

$$
I=\int \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x=?
$$

解析 08

本题主要解题思路为：对反三角函数做整体代换、分部积分。

$$
t=\arcsin x \Rightarrow x=\sin t
$$

由于 $\arccos x$ 和 $\arcsin x$ 只相差 $\frac{\pi}{2}$:

$$
\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x=\frac{\pi}{2}-t
$$

又：

$$
\mathrm{~d} x=\cos t \mathrm{~d} t
$$

于是：

$$
I=\int t \cdot\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos t \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int t\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \mathrm{~d} (\sin t) \Rightarrow
$$

分部积分：

$$
I=(\sin t) \cdot t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\int \sin t\left(\frac{\pi}{2}-2 t\right) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

拆分：

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\left[\frac{\pi}{2} \int \sin t \mathrm{~d} t-2 \int t \sin t \mathrm{~d} t\right] \Rightarrow
$$

分部积分：

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t-2 \int t \mathrm{~d} (\cos t) \Rightarrow
$$

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t – \textcolor{red}{ 2 } \left[t \cos t-\int \cos t \mathrm{~d} t\right]
$$

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t – \textcolor{red}{ 2 } t \cos t + \textcolor{red}{ 2 } \sin t + C \Rightarrow
$$

Tips:

如上标红所示的位置，括号外面的 “$\textcolor{red}{ 2 }$” 是很容易在计算的过程中被忘掉的。

又：

$$
t=\arcsin x \Rightarrow
$$

$$
t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=(\arcsin x) x\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right) \Rightarrow
$$

$$
t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=x \arcsin x \cdot \arccos x
$$

$$
\frac{\pi}{2} \cos t-2 t \cos t=\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \cos (\arcsin x)
$$

$$
\frac{\pi}{2} \cos t-2 t \cos t=\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \sqrt{1-x^{2}}
$$

于是：

$$
I=
$$

$$
x \arcsin x \cdot \arccos x+\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \sqrt{1-x^{2}} + 2 x+C
$$

一、前言

$$
\textcolor{orangered}{
\cos (\arcsin x) = ?
}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\sin (\arccos x)= ?
}
$$

在「荒原之梦考研数学」网中，还有如下相关文章：

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