给定一个无穷大量，怎么转为无穷小量？

一、题目

已知 $a, b$ 为常数，且 $\lim \left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$, 则 $a=?$, $b=?$

难度评级：

二、解析

在书写计算时，注意不要把字母 “$b$” 和数字 “$6$” 写得太相似了。

解法一：直接按照无穷大量计算

已知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0 \Rightarrow
$$

当 $x \rightarrow \infty$ 时：

$$
\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}=b \Rightarrow \sqrt[3]{-x^{6}}-a x^{2}=b \Rightarrow
$$

$$
-x^{2}-a x^{2}=b \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
a=-1 \\ b=0
\end{array}\right.
$$

解法二：转为无穷小量计算

当 $x \rightarrow \infty$ 时：

$$
\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}=b \Rightarrow \sqrt[3]{x^{6}\left(\frac{1}{x^{6}}-1\right)}-a x^{2}=b \Rightarrow
$$

$$
\sqrt[3]{-x^{6}\left(1-\frac{1}{x^{6}}\right)}-a x^{2}=b \Rightarrow
$$

$$
-x^{2}\left[1-\frac{1}{x^{6}}\right]^{\frac{1}{3}}-a x^{2}=b \Rightarrow
$$

$$
-x^{2}\left[\left(1-\frac{1}{x^{6}}\right)^{\frac{1}{3}}+a\right]=b \Rightarrow
$$

又：

$$
x \rightarrow 0 \Rightarrow (1+x)^{a}-1 \sim a x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
x \rightarrow 0 \Rightarrow (1+x)^{a} \sim 1+a x } \Rightarrow
$$

因此：

$$
-x^{2}\left[\left(1-\frac{1}{x^{6}}\right)^{\frac{1}{3}}+a\right]=b \Rightarrow
$$

$$
-x^{2}\left[\frac{1}{3} \cdot \frac{-1}{x^{6}}+1+a\right]=b \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array} { l }
{ 1 + a = 0 } \\ { b = 0 }
\end{array} \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l}
a=-1 \\ b=0
\end{array}\right.\right.
$$

---