七、计算题 (本题满分 10 分)
计算 $\int \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$, 其中 $a, b$ 是不全为 $0$ 的非负数.
当 $a=0, b \neq 0$ 时：
$$
I=\int \frac{1}{b^{2} \cos ^{2} x} \mathrm{~ d} x=\frac{1}{b^{2}} \tan x+C
$$
当 $a \neq 0, b=0$ 时：
$$
I=\int \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~ d} x=\frac{1}{a^{2}} \int \frac{1}{\sin ^{2} x} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
-\frac{1}{a^{2}}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)+c=-\frac{1}{a^{2}} \cot x+C
$$
当 $a \neq 0, b \neq 0$ 时：
$$
I=\int \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int \frac{\frac{1}{\cos ^{2} x}}{a^{2} \tan ^{2} x+b^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\int \frac{1}{b^{2}+a^{2} \tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x)
$$
令：
$$
t=\tan x
$$
则：
$$
I=\int \frac{1}{b^{2}+a^{2} t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\int \frac{1}{b^{2}\left[1+\left(\frac{a t}{b}\right)^{2}\right]} \cdot \frac{b}{a} \mathrm{~ d} \left(\frac{a t}{b}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{b^{2}} \cdot \frac{b}{a} \int \frac{1}{1+\left(\frac{a t}{b}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \left(\frac{a t}{b}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{a b} \arctan \left(\frac{a t}{b}\right) + C \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{a b} \arctan \left(\frac{a \tan x}{b}\right)+C
$$