1988 年考研数二真题解析

八、解答题 (本题满分 8 分)

设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续导数, 且 $m \leqslant f(x) \leqslant M$.

(1) 求 $\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{d} t$

积分中值定理，存在 $\xi \in[-a, a]$, 使得：

$$
\int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{~ d} t=
$$

$$
[a-(-a)][f(\xi+a)-f(\xi-a)]=
$$

$$
2 a[f(\xi+a)-f(\xi-a)]
$$

又由拉格朗日中值定理, 存在 $c \in(\xi-a, \xi+a)$, 使得：

$$
\frac{f(\xi+a)-f(\xi-a)}{(\xi+a)-(\xi-a)}=f^{\prime}(c) \Rightarrow
$$

$$
f(\xi+a)-f(\xi-a)=2 a f^{\prime}(c) \Rightarrow
$$

$$
\int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{~ d} t=4 a^{2} f^{\prime}(c) \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(c)=\lim \limits_{c \rightarrow 0} f^{\prime}(c)=f^{\prime}(0)
$$

(2) 证明 $\left|\frac{1}{2 a} \int_{-a}^{a} f(t) \mathrm{d} t-f(x)\right| \leqslant M-m(a>0)$.

$$
m \leqslant f(x) \leqslant M \Rightarrow
$$

$$
2 a m \leqslant \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x \leqslant 2 a M \Rightarrow
$$

$$
m \leqslant \frac{1}{2 a} \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x \leqslant m \tag{1}
$$

又：

$$
-M \leqslant-f(x) \leqslant-m \tag{2}
$$

联立 $(1)$, $(2)$ 可得：

$$
-(M-m) \leqslant \frac{1}{2 a} \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x-f(x) \leqslant M-m
$$

$$
\left|\frac{1}{2 \alpha} \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{~ d} x-f(x)\right| \leqslant M-m \quad(a>0)
$$

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