三、计算题 (本题满分 7 分)
设 $\left\{\begin{array}{l}x=5(t-\sin t), \\ y=5(1-\cos t) .\end{array}\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$.
首先：
$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} t} \cdot \frac{\mathrm{~ d} t}{\mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} t}=5 \sin t \quad \frac{\mathrm{~ d} x}{\mathrm{~ d} t}=5(1-\cos t) \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}=\frac{\sin t}{1-\cos t}
$$
又：
$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~ d} x^{2}}=\frac{ \mathrm{d} }{\mathrm{~ d} x}\left(\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}\right)=\frac{ \mathrm{d} }{\mathrm{~ d} t}\left(\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}\right) \frac{\mathrm{~ d} t}{\mathrm{~ d} x}=
$$
$$
\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)_{t}^{\prime} \cdot \frac{1}{5(1-\cos t)}=
$$
$$
\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin ^{2} t}{(1-\cos t)^{2}} \cdot \frac{1}{5(1-\cos t)}=
$$
$$
\frac{\cos t-\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)}{5\left(1-\cos ^{3} t\right)^{3}}=\frac{\cos t-1}{5(1-\cos t)^{3}}=
$$
$$
\frac{-1}{5(1-\cos t)^{2}}
$$