周期函数的积分与积分位置无关：只与积分区间的宽度有关

一、题目

已知，$f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数，$\int_{0}^{2 \pi} f[\sin (x+\varphi)] \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$, 则 $A=?$

难度评级：

二、解析

解法一：化简找特例

已知：

$$
\int_{0}^{2 \pi} f[\sin (x+\varphi)] \mathrm{~d} x=A \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

若令：

$$
f(\sin x)=\sin x, \ f[\sin (x+\varphi)]=\sin (x+\varphi), \ \varphi=0
$$

则，由函数图象可知：

$$
\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~d} x=A \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~d} x=2 \int_{\frac{-\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
A=2
$$

解法二：利用周期函数和三角函数的性质

把等号左边的向等号右边的形式上凑，令：

$$
t=x+\varphi \Rightarrow t \in(\varphi, 2 \pi+\varphi) \Rightarrow
$$

则：

$$
\int_{0}^{2 \pi} f[\sin (x+\varphi)] \mathrm{~d} x=\int_{\varphi}^{2 \pi+\varphi} f(\sin t) \mathrm{~d} t
$$

又因为 $f(\sin t)$ 的周期为 $2 \pi$, 因此：

$$
\int_{\varphi}^{2 \pi+\varphi} f(\sin t) \mathrm{~d} t = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{~d} t=
$$

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{~d} t + \textcolor{springgreen}{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{~d} t }
$$

对于 $\textcolor{springgreen}{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{~d} t }$, 我们令：

$$
s=t-\pi \Rightarrow s \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow
$$

则：

$$
\textcolor{springgreen}{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{~d} t } = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f[\sin (s+\pi)] \mathrm{~d} s =
$$

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin s) \mathrm{~d} s=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{~d} t
$$

于是：

$$
\int_{0}^{2 \pi} f[\sin (x+\varphi)] \mathrm{~d} x=2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
A=2
$$

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