分类： 高等数学

题目 02

$$
I=\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=?
$$

解析 02

解法一

令：

$$
x=2 \tan \theta \Rightarrow \mathrm{~ d} x=2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

则：

$$
I=\int \frac{1}{\left(4+4 \tan ^{2} \theta\right)^{2}} \cdot 2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1}{16\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}} \cdot 2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{4} \theta \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{2} \theta \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \int(1+\cos 2 \theta) \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right] \Rightarrow I=\frac{1}{16}[\theta+\sin \theta \cos \theta]
$$

又：

$$
x=2 \tan \theta \Rightarrow \frac{x}{2}=\tan \theta \Rightarrow \theta=\arctan \left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+
$$

$$
\sin \left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\right] \times \cos \left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\right] +C \Rightarrow
$$

又由 这篇文章 可知：

$$
I=\frac{1}{16}\left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{4+x^{2}}} \right] + C \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8} \frac{x}{4+x^{2}} + C
$$

解法二

$$
I=\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1}{\left[4\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right)\right]^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \times 2 \int \frac{1}{\left[1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right]^{2}} \mathrm{~ d}\left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

令：

$$
\frac{x}{2}=\tan ^{2} \Rightarrow t=\arctan \left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=1+\tan ^{2} t=\frac{1}{\cos s^{2} t}
$$

$$
\mathrm{~ d}\left(\frac{x}{2}\right)=\mathrm{~ d} (\tan t)=\frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

则：

$$
I=\frac{1}{8} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos ^{4} t}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t=\frac{1}{8} \times \frac{1}{2} \int(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16}[t+\sin 2 t]+c \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} t+\frac{2}{16} \sin t \cos t+c \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8} \frac{x}{4+x^{2}}+c .
$$

解法三

对于这类“平方嵌套平方”的积分，甚至“$n$ 次方嵌套平方”的积分，我们还可以直接套用下面的这个公式，只是这个公式有一点复杂：

$$
\int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n}}=
$$

$$
\frac{x}{2(n-1) a^{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}+\frac{2 n-3}{2(n-1) a^{2}} \int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}
$$

---

题目 10

已知，$f(x)$ 为非负的连续函数，且 $f(x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=\cos ^{4} x$, 则 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的平均值是多少？

解析 10

令：

$$
u=x-t \Rightarrow t=x-u \Rightarrow t \in(x, 0) \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

则：

$$
\int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=-\int_{x}^{0} f(u) \mathrm{~ d} u=\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u
$$

于是：

$$
f(x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=\cos ^{4} x \Rightarrow
$$

$$
f(x) \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\cos ^{4} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~ d} x \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} x=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$

于是：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~ d} x\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[f(x) \cdot \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right] \mathrm{~ d} x=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

又：

$$
\left\{\left[\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}\right\}^{\prime}=2 \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u \cdot f(x)
$$

于是：

$$
\left.\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}\right|_{0=x} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

$$
{\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}=\frac{3 \pi}{8} \Rightarrow}
$$

综上：

$$
\frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) \mathrm{~ d} u}{\frac{\pi}{2}-0}=\sqrt{\frac{3 \pi}{8}} \times \frac{2}{\pi} = \sqrt{ \frac{3\pi}{8} \times \frac{4}{\pi^{2}}} =\sqrt{\frac{3}{2 \pi}}
$$

---

题目 08

$$
I=\int \frac{x}{x^{3}-x^{2}+x-1} \mathrm{~ d} x = ?
$$

解析 08

用十字相乘法进行拆分：

$$
x^{3}-x^{2}+x-1 \Rightarrow
$$

$$
(x \quad \quad) \cdot\left(x^{2} \quad \quad \right) \Rightarrow x^{3} \Rightarrow
$$

$$
(x-1) \cdot\left(x^{2}\quad \quad \right) \Rightarrow x^{3}-x^{2} \Rightarrow
$$

$$
(x-1) \cdot\left(x^{2}+1\right) \Rightarrow x^{3}-x^{2}+x-1
$$

于是：

$$
\frac{x}{x^{3}-x^{2}+x-1}=\frac{x}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=
$$

待定系数变乘法为加减法：

$$
\frac{A}{x-1}+\frac{B x+ C}{x^{2}+1} \Rightarrow
$$

$$
\frac{A\left(x^{2}+1\right)+(B x+ C)(x-1)}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{x}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} \Rightarrow
$$

$$
A x^{2}+A+B x^{2}-B x+ C x-C=x \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}A+B=0 \\ C-B=1 \\ A-C=0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A+B=0 \\ A-B=1\end{array} \Rightarrow\right. \left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{2} \\ B=\frac{-1}{2} \\ C=\frac{1}{2}\end{array}\right.
$$

于是：

$$
I=\int\left(\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{\frac{-1}{2} x+\frac{1}{2}}{x^{2}+1}\right) \mathrm{~ d} x
$$

$$
I=\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \mathrm{~ d} x+\frac{1}{2} \int \frac{1-x}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln |x-1|+\frac{1}{2}\left[\int \frac{1}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x-\int \frac{x}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x\right]=
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln |x-1|+\frac{1}{2} \arctan x-\frac{1}{2} \int \frac{x}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x .
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln |x-1|+\frac{1}{2} \arctan x-\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+1\right)+ C
$$

一、前言

你是否被下面两个式子的困惑过：

$$
\sin (\arctan x) = ?
$$

$$
\cos (\arctan x) = ?
$$

在荒原之梦网之前的文章中，曾就这类问题做过详细的推理演算（详情请点击这里），现在，只需要看懂一张图，马上就明白了！

继续阅读“sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算？一张图让你秒懂！”

一、题目

已知，$f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ 则 $x = 0$ 和 $x = 1$ 是该函数的什么间断点？

难度评级：

继续阅读“第一类间断点没有无穷也不震荡，除此之外的都是第二类间断点”

一、题目

已知，$f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为无穷小 $x$ 的几阶无穷小？

难度评级：

继续阅读“求一次导会降一阶，但千万别忘了求导前的阶数”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=?
$$

难度评级：

继续阅读“等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗？”

一、题目

已知，$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$, 则 $a = ?$, $b=?$

难度评级：

继续阅读“求导一定要彻底，特别是对于两个式子相乘的情况”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=?
$$

难度评级：

继续阅读“不能对幂指函数的局部使用无穷小相关定理”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要”

一、题目

已知，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$, 则 $a = ?$, $k = ?$

难度评级：

继续阅读“可以用 (a+b)(a-b) 去掉根号”

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=?
$$

难度评级：

继续阅读“复杂的式子先找共同点化简”

一、题目

$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时，$f(x)$ 的极限情况如何？

难度评级：

继续阅读“极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷”

一、题目

已知，$1<a \leqslant \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$, $x_{1}=a, x_{2}=a^{x_{1}}, \cdots, x_{n}=a^{x_{n-1}}, \cdots$, 则数列 $\{ x_{n} \}$ 增减性如何？有极限吗？

难度评级：

继续阅读“套娃式题目怎么做？先“套”几个看看”

一、题目

已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid -1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2}$, 则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=?$

难度评级：

继续阅读“二重积分的被积函数中含有根号怎么办？可以尝试改造积分区域实现对根号的去除”