六、证明题 (本题满分 10 分)
(1) 证明: 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导, 且导数 $f^{\prime}(x)$ 恒大于零, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内单调增加.
设：
$$
\left(x_{1}, x_{2}\right) \in(a, b) \Rightarrow \varepsilon \in\left(x_{1}, x_{2}\right)
$$
则由拉格朗日中值定理可知：
$$
\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(\xi)
$$
$$
\because \quad f^{\prime}(x)>0, x_{2}>x_{1}
$$
$$
\therefore \quad f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)>0 \Rightarrow f\left(x_{2}\right)>f\left(x_{1}\right)
$$
(2) 若 $g(x)$ 在 $x=c$ 处二阶导数存在, 且 $g^{\prime}(c)=0, g^{\prime \prime}(c)<0$, 则 $g(c)$ 为 $g(x)$ 的一个 极大值.
根据定义可知：
$$
g^{\prime \prime}(c)=\lim \limits_{x \rightarrow c} \frac{g^{\prime}(x)-g^{\prime}(c)}{x-c}
$$
$$
\because \quad g^{\prime \prime}(c)<0
$$
$$
\therefore \quad \frac{g^{\prime}(x)-g^{\prime}(c)}{x-c}<0
$$
$$
\because \quad \quad g^{\prime}(c)=0
$$
$$
\therefore \quad \frac{g^{\prime}(x)}{x-c}<0
$$
于是，当 $c-\delta<x<c \Rightarrow x-c<0$ 时：
$$
g^{\prime}(x)>0 \Rightarrow g(c)>g(x)
$$
当 $c0$ 时：
$$
g^{\prime}(x)<0 \Rightarrow g(c)<g(x)
$$
根据极大值的定义可知，此时的 $g(c)$ 是函数 $g(x)$ 的一个极大值。