一、题目
曲线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}$（其中，$x \geqslant 0, y \geqslant 0$）与 $X$ 轴围成的区域为 $D$, 求 $\iint_{D}xy\mathrm{~d}x\mathrm{d}y$.
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分类： 高等数学
2021年考研数二第20题解析：一阶线性微分方程的求解、切线、极值
一、题目
函数 $y=y\left(x\right)$ 的微分方程 $x y^{\prime}-6y=-6$, 满足 $y\left(\sqrt{3}\right)=10$，
（1）求 $y\left(x\right)$；
（2）$P$ 为曲线 $y=y\left(x\right)$ 上的一点，曲线 $y=y\left(x\right)$ 在点 $P$ 的法线在 $Y$ 轴上的截距为 $I_{y}$, 为使 $I_{y}$ 最小，求 $P$ 的坐标.
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继续阅读“2021年考研数二第20题解析：一阶线性微分方程的求解、切线、极值”2021年考研数二第19题解析：曲线的弧长、旋转曲面的面积
一、题目
$f\left(x\right)$ 满足 $\int \frac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\mathrm{~d}x=\frac{1}{6}x^{2}-x+C$, $L$ 为曲线 $y=f\left(x\right) \quad \left(4 \leqslant x \leqslant 9\right)$, $L$ 的弧长为 $s$, $L$ 绕 $X$ 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 $A$, 求 $s$ 和 $A$.
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继续阅读“2021年考研数二第19题解析：曲线的弧长、旋转曲面的面积”2021年考研数二第18题解析：凹凸性、渐近线
一、题目
已知 $f\left(x\right) = \dfrac{x\left|x\right|}{1+x}$, 求 $f\left(x\right)$ 的凹凸性及渐近线.
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继续阅读“2021年考研数二第18题解析：凹凸性、渐近线”2021年考研数二第17题解析：极限的计算、变上限积分、泰勒公式、洛必达运算
一、题目
求极限 $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1+\int_{0}^{x}\mathrm{e}^{t^{2}}\mathrm{~d}t}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$.
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继续阅读“2021年考研数二第17题解析：极限的计算、变上限积分、泰勒公式、洛必达运算”双层旋转体体积的计算
一、题目
设 $D$ 为在 $y = \left(x – 1\right)^{2}$ 上方、在 $y = x + 1$ 下方的区域. 求将 $\mathcal{R}$ 绕 $X$ 轴旋转所得立体的体积.
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一、题目
微分方程 $y^{\prime \prime \prime} – y = 0$ 的通解 $y = \underline{\hspace{26px}}$
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继续阅读“2021年考研数二第15题解析：三阶常系数线性齐次微分方程、实根、共轭复根”2021年考研数二第14题解析（版本 2）：二重积分的计算、交换积分次序
一、题目
已知函数 $f\left(t\right) = \int_{1}^{t^{2}} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y$, 则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \underline{\hspace{26px}}$
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继续阅读“2021年考研数二第14题解析（版本 2）：二重积分的计算、交换积分次序”2021年考研数二第14题解析（版本 1）：二重积分的计算、交换积分次序
一、题目
已知函数 $f\left(t\right) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{1} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y$，则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \underline{\hspace{26px}}$
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继续阅读“2021年考研数二第14题解析（版本 1）：二重积分的计算、交换积分次序”被积函数中分子是分母的导数该怎么计算？
一、题目
$$
\int \frac{g^{\prime}\left(x\right)}{g\left(x\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
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继续阅读“被积函数中分子是分母的导数该怎么计算？”积分运算中，分母上的 x 和分子上的 ln x 等价
积分换元的时候不能只考虑被积函数
一、题目
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}\left(1 – \sqrt{x}\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
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继续阅读“积分换元的时候不能只考虑被积函数”2021年考研数二第13题解析：二元方程求偏导数
一、题目
设函数 $z=z\left(x,y\right)$ 由方程 $\left( x+1 \right)z + y \ln z – \arctan \left( 2xy \right) = 1$ 确定，则 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(0,2\right)} = \underline{\hspace{26px}}$
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继续阅读“2021年考研数二第13题解析：二元方程求偏导数”2021年考研数二第12题解析：参数方程求导
一、题目
设函数 $y = y \left(x\right)$ 由参数方程 $\begin{cases} x=2\mathrm{e}^{t}+t+1 \\ y=4\left(t-1\right)\mathrm{e}^{t}+t^{2} \end{cases}$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{t=0}=\underline{\hspace{26px}}$
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继续阅读“2021年考研数二第12题解析：参数方程求导”2021年考研数二第11题解析：无穷限定积分的计算、极限的计算
一、题目
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\left| x \right|3^{-x^{2}}\mathrm{~d}x=\underline{\hspace{26px}}
$$
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