高等数学归档 - 第7页共122页

封闭曲线的弧长不一定是周长

一、题目

已知 $0$ $⩽$ $θ$ $⩽$ $3 π$ , 且：

$r (θ) = {(\sin \frac{θ}{3})}^{3}$

则曲线 $r (θ)$ 的弧长是多少？

有时候，曲线 $r (θ)$ 的极坐标方程也写作： $r (θ)$ $=$ $\sin^{3} \frac{θ}{3}$ .

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积分上限和积分下限相等的定积分一定等于零

一、题目

已知 $c > 0$ 为常数，且：

$f (x) = \int_{c^{2}}^{x^{2}} \frac{\sin k}{k} d k$

则：

$I = \int_{0}^{c} x f (x) d x$

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一重积分的问题用二重积分求解

一、题目

已知 $y^{'} (x)$ $=$ $\arctan (1 - x)^{2}$ , $y (0)$ $=$ $1$ , 则：

$I = \int_{0}^{1} y (x) d x = ?$

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如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上

一、题目

$\begin{aligned} I = \\ lim_{x \to + \infty} [\sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1} - \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} \times \sqrt{x^{2} + x + 1}] \\ = ? \end{aligned}$

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大于 1 和小于 1 大不相同

一、前言

在计算的时候，一个数字是大于 $1$ , 还是小于 $1$ 可能对应着不同的结果，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给大家列举一些常见的情况，以便同学们在做题的时候加以注意。

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对含有 e 的式子进行快速求导的方法

一、前言

考场上的每一分每一秒都很关键，所以，在保证正确的情况下，做题速度越快，竞争优势也就越大。为此，「荒原之梦考研数学」为同学们总结归纳了对含有 $e^{x}$ 或者 $e^{k x}$ 的多项式（其中 $k$ 为常数）进行求导的快速方法。

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考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总

一、前言

各种积分符号的写法与含义汇总 | 荒原之梦考研数学 | 图片由 Stephen Wolfram, LLC 拍摄，采用 MIT 协议授权。 — 图 01. 莱布尼茨（*Leibniz*）有关积分和微分表示法的手稿，这是在互联网上可以获取到的几乎最清晰的照片：正是莱布尼茨最先发明并使用了积分符号。

在考研高等数学中，我们会接触到很多种积分符号，这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中，「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义，在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~

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a+b 的平方到底该怎么展开？

一、前言

「荒原之梦考研数学」的这篇文章的标题看上去很“无聊”，因为现在正在看这篇文章的同学，几乎不会有人不知道怎么展开 $(a + b)^{2}$ .

那么，这篇文章的目的是什么呢？

其实，这篇文章只是想表达：

在考研数学的学习中，我们只要能保证遵守最基本的定理逻辑，在定理形式的理解和表达上，就可以自己怎么喜欢怎么来，怎么方便怎么来。

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这道题你去几次根号可以解出来？

一、题目

$\begin{aligned} I = \\ \int \frac{\ln x}{\sqrt{x^{3} (1 - x)}} d x \\ = ? \end{aligned}$

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tan(arccos x) 等于多少？

一、结论

首先给出结论：

$\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$

接下来「荒原之梦考研数学 – zhaokaifeng.com」网将给出对上述结论的详细证明。

关于 $\cos (\arcsin x)$ 和 $\sin (\arccos x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。
关于 $\tan (\arcsin x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。

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tan(arcsin x) 等于多少？

一、结论

首先是本文的结论：

$\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

接下来，「荒原之梦考研数学 | zhaokaifeng.com」将给出有关上面这个结论的详细证明过程。

关于 $\cos (\arcsin x)$ 和 $\sin (\arccos x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。
关于 $\tan (\arccos x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。

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在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算

一、题目

已知，当 $x \to 0$ 时， $\frac{\cos x - 1}{1 - \sin x}$ $=$ $a x$ $+$ $b x^{2}$ $+$ $c x^{3}$ $+$ $o (x^{3})$ , 则：

${\begin{cases} a = ? \\ b = ? \\ c = ? \end{cases}$

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矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵

一、题目

已知， $A$ 和 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且：

$(A B)^{2} = E$

则下列结论中，一定正确为（）

① $B A B$ $=$ $A^{- 1}$

② $A B A$ $=$ $B^{- 1}$

③ $(B A)^{2}$ $=$ $E$

④ $A^{2} B^{2}$ $=$ $E$

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积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

$\begin{aligned} I & = \\ \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{e^{x + 3} + e^{5 - x}} d x \\ = ? \end{aligned}$

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这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?

一、题目

若 $f (x)$ $+$ $\sin^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3 x) d x$ , 则：

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = ?$

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