罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理

一、前言

罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，也是引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。但是，对罗尔定理的传统证明方法并不能非常直观的反映出罗尔定理的性质（不过，本文中仍然会给出基于传统数学方法的罗尔定理证明），所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一种原创的方式，通过一个非常自然的过程，证明罗尔定理，因为我相信——

只 要 是 正 确 的 数 学 定 理 ，都 具 有 不 证 自 明 的 性 质 ，只 是 需 要 我 们 更 换 一 下 观 察 和 思 考 的 角 度 。

二、正文

罗尔定理的定义

罗尔中值定理或者说罗尔定理是以法国数学家米歇尔·罗尔命名的三大微分中值定理之一，该定理的内容为：

如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[a, b]$ 上连续；在开区间 $(a, b)$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$, 则至少有一个点 $\xi \in (a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$.

罗尔定理的传统数学证明

首先，由于函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，根据极值定理，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值和最小值。

接着，如果 $f(x)$ 的最大值和最小值都在端点 $a$ 或 $b$ 处取得，由于 $f(a) = f(b)$, 则 $f(x)$ 显然是一个常数函数。此时，对于任一点 $\xi \in (a, b)$, 我们都有 $f^{\prime}(\xi) = 0$. 于是可知，在此种情况下，罗尔定理得证。

接下来，我们只需要证明，当 $f(x)$ 在 $\xi \in (a, b)$ 处取得最大值，且 $f ^{\prime} (\xi) = 0$ 即可：

若取 $x \in (a , \xi)$, 根据最大值定义可知 $f(\xi) \geq f(x)$, 于是：

$$
\begin{aligned}
& \frac{ f(x) – f(\xi)}{x – \xi} \geq 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ \lim_{x \rightarrow \xi^{-}} & \frac{ f(x) – f(\xi)}{x – \xi} \geq 0
\end{aligned}
$$

又因为 $f(x)$ 在 $\xi$ 处可导，所以：

$$
\textcolor{yellow}{
f^{\prime}(\xi) \geq 0
} \tag{a}
$$

若取 $x \in (\xi, b)$, 根据最大值定义可知 $f(\xi) \leq f(x)$, 于是：

$$
\begin{aligned}
& \frac{ f(x) – f(\xi)}{x – \xi} \leq 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ \lim_{x \rightarrow \xi^{+}} & \frac{f(x) – f(\xi)}{x – \xi} \leq 0
\end{aligned}
$$

又因为 $f(x)$ 在 $\xi$ 处可导，所以：

$$
\textcolor{yellow}{
f^{\prime} (\xi) \leq 0
} \tag{b}
$$

结合 $(a)$ 式和 $(b)$ 式可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f^{\prime}(\xi) = 0
}
$$

函数 $f(x)$ 在点 $\xi \in(a, b)$ 处取得最小值的证明过程与上面的证明过程类似，同样可得 $\textcolor{lightgreen}{ f^{\prime}(\xi) = 0 }$ 的结论。

综上可知，罗尔定理得证。

基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理

在开始核心的证明过程之前，我们需要先阐明一个原理，那就是“沿着直角坐标系中 $X$ 轴或者 $Y$ 轴方向上的平移变换，并不会改变驻点在函数中的绝对位置”。

例如，在图 01 中，蓝色曲线是函数 $\textcolor{#6D9EEB}{\mathrm{Z} (x) }$ $=$ $- \left( x+2 \right)^{2} – 1$ 的函数图象，绿色曲线是函数 $\textcolor{#6AA84F}{\mathrm{K} (x)}$ $=$ $- x^{2} + 2$ 的函数图象，橙色曲线是函数 $\textcolor{#E69138}{\mathrm{F} (x)}$ $=$ $- \left( x-2 \right)^{2} + 3$ 的函数图象，且 $\mathrm{Z}(a_{2}) = \mathrm{Z}(b_{2})$, $\mathrm{K}(a_{0}) = \mathrm{K}(b_{0})$, $\mathrm{F}(a_{1}) = \mathrm{F}(b_{1})$:

可以看到，无论是将函数 $\mathrm{Z}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，还是将函数 $\mathrm{F}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，都不会改变驻点 $c_{2}$ 或 $c_{1}$ 在函数中的绝对位置。

不严谨但简单地说就是：平移变换不会改变函数中一个点是不是驻点这一性质。

于是，对于一个存在两点 $a$ 和 $b$ 处函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$ 相等的函数而言，无论这两点处的函数值是否等于零，我们都可以首先将 $a$ 和 $b$ 这两个点平移到直角坐标系的横轴上（此时 $f(a) = f(b) = 0$），然后再进行之后的研究。

接下来，就是本证明过程的核心部分。

由于经过上述平移变换之后，一个函数总会与坐标系的 $X$ 轴产生交点 $a$ 和 $b$, 其中，$a$ 交点在 $b$ 交点的左边。

Note

一个可以用罗尔定理证明存在驻点的函数，经过本文中的平移变换之后，一定会与坐标系的 $X$ 轴产生至少两个交点，如果只能产生一个交点的话，则不在本文的讨论范围之内。

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于是，我们可以将函数图象的生成看作是从 $a$ 点出发，经过一系列变换到达 $b$ 点的过程。

那么，当切线的方向朝上的时候，函数图象就会递增，如图 02 所示：

当切线的方向朝下的时候，函数图象就会递减，如图 03 所示：

如果增减变化非常均匀，那么，我们就会在坐标系中得到一个上半圆或者下半圆，我们可以用图 04 所示的圆形来表示这一变化：

同时，当增减变化停止时，或者说，当曲线上某点处垂线与坐标系 $X$ 轴的夹角为 $90^{\circ}$ 时，驻点也就是产生了，如图 05 所示：

并且，对于一个函数而言，如果函数图象的曲线连续且光滑，并且要从坐标系 $X$ 轴上的 $a$ 点出发抵达坐标系 $X$ 轴上的 $b$ 点，其切线就必然会表现出“上升 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 下降”或者“下降 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 上升”的过程。

Note

如果函数图象的曲线不连续不光滑，则导数就可能不存在，驻点自然也就不可能在图象上不连续不光滑的位置存在，详细解析可查阅《用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）》

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而在“上升 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 下降”或者“下降 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 上升”的过程中，一定存在至少一个点是“不增也不减”的点，这就是我们要证明存在的驻点，即：

上升 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 驻点 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 下降

下降 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 驻点 $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ 上升

如图 06 所示，$X = 0$ 处就是我们要找的函数驻点：

综上可知，罗尔定理得证。

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