标签： 考研数学一

一、题目

计算并判断下面的函数在点 $\left( 0,0 \right)$ 处的二重极限和累次极限：

$$
f \left( x,y \right) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}
$$

继续阅读“二元函数二重极限和累次极限习题（03）”

一、题目

计算并判断下面的函数在点 $\left(0, 0\right)$ 处的二重极限和累次极限：

$$
f\left(x, y\right) = x \sin \frac{1}{y}
$$

继续阅读“二元函数二重极限和累次极限习题（02）”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个平方和不等式（也可以看作是柯西–施瓦茨不等式的一个特例）的证明：

$$
\left| x \right| \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

二、正文

因为 $y^{2} \geqslant 0$, 所以：

$$
x^{2} \leqslant x^{2} + y^{2}
$$

两边都非负，开平方得：

$$
\sqrt{x^{2}} = \left| x \right| \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

其中，当且仅当 $y = 0$ 的时候，上式中等号成立.

从几何的视角来看，$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 是点 $(x,y)$ 到平面直角坐标系原点的距离，而 $\left| x \right|$ 是其横坐标的绝对值，由于距离不小于其横向投影长度，因此也可以证明下式成立：

$$
\left| x \right| \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

---

一、题目

计算并判断下面的函数在点 $\left( 0,0 \right)$ 处的二重极限和累次极限：

$$
f \left( x,y \right) = x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}
$$

继续阅读“二元函数二重极限和累次极限习题（01）”

一、前言

截至本文发布时（2026 年 08 月 31 日），国内外数学界都没有关于更高等级的相等意义上的“超相等”理论的讨论.

在本文中，「荒原之梦」会尝试通过对均值不等式和相同周长的不同多边形与圆形所占用的空间视角，猜想一种可能存在“超相等”状态及其可能的机制解释.

继续阅读“峰图 | 基于空间占用率推广定义的“超元相等””

一、正向推导

$$
\begin{aligned}
& \ \left| x \right| + \left| y \right| \\ \
= & \ \left(1, 1\right) \cdot \left(\left| x \right|, \left| y \right| \right) \\ \
\leqslant & \ \sqrt{1^{2} + 1^{2}} \sqrt{\left| x \right|^{2} + \left| y \right|^{2}} \\ \
= & \ \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ \left| x \right| + \left| y \right| \leqslant \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} }
\end{aligned}
$$

上面的 $\textcolor{lightgreen}{ \left| x \right| + \left| y \right| \leqslant \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} }$ 这个公式就是柯西–施瓦茨不等式.

二、反向推导

首先：

$$
\begin{aligned}
& \ \left(\left| x \right| + \left| y \right| \right)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 \left| xy \right| \leqslant 2x^{2} + 2y^{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{2 \left| xy \right| \leqslant x^{2} + y^{2}} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \left(\left| x \right| + \left| y \right| \right)^{2} \leqslant 2x^{2} + 2y^{2} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\text{等号两端同时开平方}} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ \left| x \right| + \left| y \right| \leqslant \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} }
\end{aligned}
$$

其中，当且仅当 $\left| x \right| = \left| y \right|$ 时，不等式 $\textcolor{lightgreen}{ \left| x \right| + \left| y \right| \leqslant \sqrt{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}} }$ 可以取等号.

三、均值不等式的证明

关于上面“二、反向推导”中用到的 $2 \left| xy \right| \leqslant x^{2} + y^{2}$ 这个均值不等式的证明如下：

$$
\begin{aligned}
& \ \left(\left| x \right| – \left| y \right|\right)^{2} \geqslant 0 \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ x^{2} – 2 \left| x \right| \left| y \right| + y^{2} \geqslant 0 \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\left|x\right|\left|y\right| = \left|xy\right|} \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ x^{2}+y^{2}-2\left|xy\right|\geqslant 0 \\ \
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{2 \left| xy \right| \leqslant x^{2} + y^{2}}
\end{aligned}
$$

其中，当且仅当 $\left| x \right| = \left| y \right|$ 时，不等式 $\textcolor{lightgreen}{2 \left| xy \right| \leqslant x^{2} + y^{2}}$ 可以取等号.

---

一、运算关系

设函数 $f\left(x\right)$ 和函数 $g\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 其中 $B \neq 0$, 则下式成立：

$$
\lim_{{x \to x_{{0}}}} \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \frac{A}{B}
$$

其中，$B \neq 0$.

继续阅读“一元函数一点处极限的运算之相除运算”

一、运算关系

设函数 $f\left(x\right)$ 和函数 $g\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 则下式成立：

$$
\lim_{x \to x_{0}} \left(f\left(x\right) \cdot g\left(x\right)\right) = A \cdot B
$$

继续阅读“一元函数一点处极限的运算之相乘运算”

一、运算关系

设函数 $f\left(x\right)$ 和函数 $g\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 则下式成立：

$$
\lim_{{x \to x_{{0}}}} \left[\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right] = \alpha \cdot A + \beta \cdot B
$$

其中，$\alpha$, $\beta$ 为常数.

继续阅读“一元函数一点处极限的运算之相加运算”

一、性质

设函数 $g\left(x\right)$ 和函数 $h\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限均为 $A$, 若存在 $\rho > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \rho$ 时，$g\left(x\right) \leqslant f\left(x\right) \leqslant h\left(x\right)$ 成立，则有：

$$
\lim_{x \to x_{0}} f\left(x\right) = A
$$

继续阅读“一元函数一点处极限的性质之夹逼性”

一、性质

若实数 $A$ 为函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限，则存在 $\delta > 0$, 使得 $f\left(x\right)$ 在去心邻域 $\overset{\circ}{U}\left(x_{0}, \delta\right)$ 中有界.

继续阅读“一元函数一点处极限的性质之局部有界性”

一、性质

设函数 $f \left(x\right)$ 和 $g \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，若存在 $\rho > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \rho$ 时，$g \left(x\right) \leqslant f \left(x\right)$, 则下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
B \leqslant A
}
$$

继续阅读“一元函数一点处极限的性质之局部保不等式性”

性质

设函数 $f \left(x\right)$、$g \left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 若 $A > B$, 则存在 $\delta > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left(x\right) > g \left(x\right)
}
$$

继续阅读“一元函数一点处极限的性质之局部保序性”

一、性质

若函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处存在极限，则极限值唯一.

二、性质的证明（反证法）

不妨设 $A, B \in \mathbb{R}$ 均为函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限，按照一元函数一点处极限的定义，对于任意给定的 $\epsilon > 0$,

• $\exists \delta_{{1}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{1}}\right)$, 使得 $\left|f\left(x\right) – A\right| < \dfrac{\epsilon}{2}$；

• $\exists \delta_{{2}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{2}}\right)$, 使得 $\left|f\left(x\right) – B\right| < \dfrac{\epsilon}{2}$.

取 $\delta = \min\left\{\delta_{{1}}, \delta_{{2}}\right\}$, 由三角不等式可知，当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|A – B\right| \\ \\
\leqslant & \ \left|f\left(x\right) – A\right| + \left|f\left(x\right) – B\right| \\ \\
< & \ \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon
\end{aligned}
$$

由于 $\epsilon$ 具有任意性（$\epsilon$ 可任意接近 $0$），因此可知：

$$
A = B
$$

综上可知，性质得证.

---

一、文字定义

一元函数 $f \left( x \right)$ 在 $x_{0}$ 处的极限的定义：

设函数 $f \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 的某个去心邻域 $U^{\circ} \left(x_{0}, \rho\right)$ 中有定义，即存在 $\rho > 0$, 使得：

$$
U^{\circ}\left(x_{0}, \rho\right) \subseteq D_{f}
$$

若存在实数 $A$, 使得对于任意给定的 $\varepsilon > 0$, 总是存在 $\delta > 0 \, \left(\delta < \rho\right)$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\left|f \left(x\right) – A\right| < \varepsilon
$$

则称 $A$ 是函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限，记作：

$$
\lim_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A
$$

或者：

$$
f \left(x\right) \to A \, \left(x \to x_{0}\right)
$$

反之，如果不存在具有上述性质的实数 $A$, 则称函数 $f \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处不存在极限.

二、符号定义

$$
\begin{aligned}
& \ \lim_{x \to x_{0}} f\left(x\right) = A \\ \\
\Leftrightarrow & \ \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta > 0 \, \left( \delta < \rho \right), \, \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta\right) : \left|f\left(x\right) – A\right| < \varepsilon
\end{aligned}
$$

---