你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？

一、题目

二、解析

解法一：驻点的定义

首先：

$$
\begin{aligned}
f(x) & = \ln|(x-1)(x-2)(x-3)| \\ \\
& = \ln|x-1| + \ln|x-2| + \ln|x-3|
\end{aligned}
$$

所以，对 $f(x)$ 求导可得：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3} \\ \\
& = \frac{\textcolor{lightgreen}{ (x-2)(x-3) }}{(x-1) \textcolor{lightgreen}{(x-2)(x-3) }} + \frac{\textcolor{lightgreen}{(x-1)(x-3)}}{\textcolor{lightgreen}{(x-1)} (x-2) \textcolor{lightgreen}{(x-3)}} \\
& + \frac{\textcolor{lightgreen}{(x-1)(x-2)}}{\textcolor{lightgreen}{(x-1)(x-2)} (x-3)} \\ \\
& = \frac{3x^{2} – 12 x + 11}{(x-1)(x-2)(x-3)}
\end{aligned}
$$

接着，令 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $0$, 则：

$$
\begin{aligned}
& 3x^{2} – 12x + 11 = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \Delta = (-12)^{2} – 4 \times 3 \times 11 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & 12 \times 12 – 12 \times 11 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{springgreen}{ \Delta > 0 }
\end{aligned}
$$

由于一元二次方程 $3x^{2}$ $-$ $12x$ $+$ $11$ $=$ $0$ 的判别式 $\Delta > 0$, 于是可知，该一元二次方程有两个不相等的实根 $x_{1}$, $x_{2}$, 使得：

$$
\textcolor{yellow}{ f ^{\prime} (x_{1}) = 0 }, \ \textcolor{yellow}{ f ^{\prime} (x_{2}) = 0 }
$$

那么，根据上面的结果，是否就可以说 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 是函数 $f(x)$ 的两个驻点？

这就涉及有关驻点的深层定义问题了。

我们说，“一阶导等于零的点一定是驻点”其实隐含着两个条件：

1. 在该点处函数可导（或者说导数存在）；
2. 在该点处的导数等于零。

所以，我们还需要确定一下，导数 $\textcolor{yellow}{ f ^{\prime} (x_{1}) }$ 和 $\textcolor{yellow}{ f ^{\prime} (x_{2}) }$ 是否都存在，或者说，需要确定一下，$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 这两个点是否是函数 $f(x)$ 的不可导点。

由于一阶导 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $\frac{3x^{2} – 12 x + 11}{\textcolor{orangered}{ (x-1)(x-2)(x-3) }}$ 没有绝对值等容易产生不可导点的组成部分，所以，使 $f ^{\prime} (x)$ 不存在的点就是 $f ^{\prime} (x)$ 无定义的点，即：

$$
\textcolor{orangered}{ (x-1)(x-2)(x-3) = 0 } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\textcolor{orangered}{x=1} \\ \textcolor{orangered}{x=2} \\ \textcolor{orangered}{x=3}
\end{cases}
$$

将上面的点带入 $f ^{\prime} (x)$ 可知：

$$
\begin{aligned}
& f ^{\prime} (1) \neq 0 \\
& f ^{\prime} (2) \neq 0 \\
& f ^{\prime} (3) \neq 0
\end{aligned}
$$

所以可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
x_{1}, x_{2} \notin { 1, 2, 3 }
}
$$

于是可知，函数从而可知，函数 $f(x)$ 的驻点有两个，即 $x_{1}$ 和 $x_{2}$

综上可知，本题应选 B.

解法二：罗尔定理

本题并不能直接使用传统的罗尔定理求解。

但是，如果使用「荒原之梦考研数学」首次提出的扩展的罗尔定理，则可以很方便的进行求解，详细内容可以查阅《在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用》这篇文章。

解法三：画图

本题不适合使用画图法求解。

为什么画图法不可行？因为本题是一个具体的函数，我们不能通过举一些其他函数的特例来判断本题中函数的性质。

而对于本题中的具体函数，我们只能对其性质做一些粗略的判断，难以在不借助计算机软件的情况下，画图其较为精确的函数图像。

此外，画图可知，零点之间并不一定存在驻点，详细内容可以查阅《有 $N$ 个零点的函数，一定至少有 $N-1$ 个驻点吗？》这篇文章。

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