定积分比大小的时候，一定要关注积分上下限的相对大小

一、题目

二、解析

解法一：构造函数

首先，为了保证题目中的函数 $\ln x$ 成立，一定有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
x > 0
}
$$

接着，构造函数 $F(x)$ $=$ $\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t – \ln x$, 其中 $x > 0$, 则有：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{pink}{ F(1) = 0 } \\
& \textcolor{pink}{ F^{\prime}(x) = \frac{\sin x}{x} – \frac{1}{x} = \frac{\sin x – 1}{x} \leqslant 0 }
\end{aligned}
$$

Tip

无论 $x$ 的取值如何，一定有 $\sin x \leqslant 1$.

zhaokaifeng.com

也可以构造函数 $G(x)$ $=$ $\ln x – \int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$, 对应的求解思路与本文中构造的函数 $F(x)$ 类似。

所以，函数 $F(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上是一个不严格单调递减的函数。

于是，如函数 $F(x)$ 的示意图（图 01）所示，我们有：

1. 当 $\textcolor{lightgreen}{ x \in (0, 1) }$ 时，$F(x)$ $>$ $F(1)$ $=$ $0$, 即 $\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t > \ln x$;
2. 当 $x \in (1, + \infty)$ 时，$F(x)$ $\leqslant$ $F(1)$ $=$ $0$, 即 $\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ $\leqslant$ $\ln x$.

综上可知，若要使 $\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ $>$ $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t$ 成立，则 $x$ 的正确取值范围应为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
0 < x < 1
}
}
$$

解法二：利用定积分的性质

首先，为了保证题目中的函数 $\ln x$ 成立，一定有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
x > 0
}
$$

即：

$$
t > 0
$$

又因为：

$$
\textcolor{pink}{ \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t } = \ln x – \ln 1 = \textcolor{pink}{ \ln x }
$$

并且：

$$
\sin t < 1 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{yellow}{ \frac{\sin t}{t} } < \textcolor{yellow}{ \frac{1}{t} }
$$

所以，若要使 $\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ $>$ $\ln x$ 成立，就是要使 $\int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ $>$ $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t$ 成立，从而必须有：

$$
\textcolor{lightgreen}{
x < 1
}
$$

综上可知，$x$ 的正确取值范围为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
0 < x < 1
}
}
$$

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