计算质点和非质点之间引力的方法：微元法

一、题目

如图 01 所示，$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$，若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么？

二、解析

首先，题目中存在两个干扰符号，即细杆的名称 $\bar{L}$ 和质点的名称 $\dot{M}$, 在做题的时候，我们需要注意分辨这样的干扰信息。

如果说想象一根细杆和一个质点（橙色）之间的引力比较抽象，那么，我们其实可以将细杆想象成是由很多个紧密排列的质点（绿色）所组成的，如图 02 所示：

于是，细杆和质点之间的引力，就变成绿色质点和橙色质点之间引力的和。

那么，在数学上我们怎么表示图 02 中的绿色质点呢？这就需要用到 微 元 这一工具了——

如图 03 所示，如果令细杆的最右端所在位置为 $X$ 轴的原点，则细杆所在的区间就是 $[-l, 0]$, 相应于 $[-l, 0]$ 上的任一小区间 $[ x, x + \mathrm{d} x]$ 的微元（也就是图中的绿色质点）到橙色质点的距离为 $a – x$:

又因为细杆的线密度为常数 $\mu$, 所以，细杆上一个微元的质量为 $\mu \mathrm { d } x$.

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《质点间引力的计算公式》这篇文章可知，两个质量分别为 $M$ 和 $m$, 且相距 $r$ 长度的质点之间的万有引力计算公式为：

$$
\textcolor{yellow}{
F = G \frac{M m}{r^{2}}
} \tag{1}
$$

其中 $G$ 为引力常数。

上面的公式 $(1)$ 中各个量在本题中的对应关系为：

$$
\begin{cases}
G & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } k \\
M & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \mu \mathrm{d} x \\
m & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } m \\
r & \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } a – x
\end{cases}
$$

于是，细杆上一个微元与质点 $\dot{M}$ 之间的引力为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm {d} F = \frac { k \cdot m \cdot \mu \mathrm{d} x} { (a – x)^{2}}
}
$$

综上，细杆上所有微元与质点 $\dot{M}$ 之间的引力为：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{F} & = \int_{-l}^{0} \frac{k \cdot m \cdot \mu \mathrm{d} x}{( a – x )^{2}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \int_{-l}^{0} \frac{k \cdot m \cdot \mu}{( a – x )^{2}} \mathrm{~d} x }
\end{aligned}
$$

拓展资料

如果本题出现在真实的考试中，则配图可能是如图 04 这样的：

此时一定要注意，细杆和质点都在 $X$ 轴上，也就是说，细杆和质点在一条直线上——细杆不是图中用于表示细杆长度的那条（红色）线：

---