峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。

二、正文

题目一

已知 $f(x)$ $=$ $\begin{cases}
a, & \textcolor{lightgreen}{|x|} \leqslant 2 \\
b, & \textcolor{lightgreen}{|x|} > 2
\end{cases}$, $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
3, & \textcolor{lightgreen}{|x|} \leqslant 1 \\
1, & \textcolor{lightgreen}{|x|} > 1
\end{cases}$, 则 $f[g(x)]$ $=$ $?$

解析一

首先，绘制一条数轴，如图 01 所示：

接着，按照《田字格分段函数融合法》这篇文章中介绍的方法，将函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的取值，按照定义域，填入对应的“格子”中，如图 02 所示：

观察可以发现，绘制完成的田字格（绿色部分）关于 $x = 0$ 对称，而用绝对值定义的自变量的范围也是关于 $x = 0$ 对称的，所以，我们可以将图 02 从 $x = 0$ 处做一个折叠，如图 03 所示：

之后，将数轴从关于 “$\textcolor{orange}{X}$” 的数轴，看作是关于 “$\textcolor{lightgreen}{|X|}$” 的数轴，从而得到一个简化之后的，刚好可以满足我们需要的分段，如图 04 所示：

综上，在计算符合函数 $f[g(x)]$ 的时候，要分的段为：

$$
\begin{cases}
\textcolor{#57898d}{ |x| \leqslant 1 } \\
\textcolor{#57898d}{ 1 < |x| \leqslant 2 } \\
\textcolor{#57898d}{ |x| > 2 }
\end{cases}
$$

于是，我们就可以根据上面对自变量 $|x|$ 的分段，确定函数 $g(x)$ 的取值，之后，将函数 $g(x)$ 的取值，看作函数 $f(x)$ 的自变量的取值，从而确定函数 $f[g(x)]$ 的表达式：

Tip

为了让同学们更清楚地理解上面的计算过程，我用不同颜色对函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 中自变量的取值范围做了区分，对应于上面过程中不同颜色的部分：

$f(x)$ $=$ $\begin{cases}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{a}}, & \textcolor{#c39417}{|x| \leqslant 2} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{b}}, & \textcolor{#c39417}{|x| > 2}
\end{cases}$, $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
3, & \textcolor{blue}{|x| \leqslant 1} \\
1, & \textcolor{blue}{|x| > 1}
\end{cases}$

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综上可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
f[g(x)] = \begin{cases}
b, & |x| \leqslant 1 \\
a, & 1 < |x| \leqslant 2 \\ a, & |x| > 2
\end{cases}
}
$$

题目二

已知 $f(x)$ $=$ $\begin{cases}
a, & \textcolor{lightgreen}{|x|} \leqslant 2 \\
b, & \textcolor{orange}{x} > 2
\end{cases}$, $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
3, & \textcolor{lightgreen}{|x|} \leqslant 1 \\
1, & \textcolor{lightgreen}{|x|} > 1
\end{cases}$, 则 $f[g(x)]$ $=$ $?$

解析二

首先，绘制一条数轴，如图 05 所示：

接着，按照《田字格分段函数融合法》这篇文章中介绍的方法，将函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的取值，按照定义域，填入对应的“格子”中，如图 06 所示：

观察可以发现，绘制完成的田字格（绿色部分）并不关于 $x = 0$ 对称，所以，我们不能像上一题一样，在 $x = 0$ 处将数轴折叠起来：

于是，我们只能按照图 08 所示的划分方式，划分要分别计算的“段”：

即：

$$
\begin{cases}
\textcolor{#57898d}{-2 \leqslant x \leqslant -1} \\
\textcolor{#57898d}{-1 < x \leqslant 1} \\
\textcolor{#57898d}{1 < x \leqslant 2} \\
\textcolor{#57898d}{x > 2}
\end{cases}
$$

于是，我们就可以根据上面对自变量 $x$ 的分段，确定函数 $g(x)$ 的取值，之后，将函数 $g(x)$ 的取值，看作函数 $f(x)$ 的自变量的取值，从而确定函数 $f[g(x)]$ 的表达式：

Tip

为了让同学们更清楚地理解上面的计算过程，我用不同颜色对函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 中自变量的取值范围做了区分，对应于上面过程中不同颜色的部分：

$f(x)$ $=$ $\begin{cases}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{a}}, & \textcolor{#c39417}{|x| \leqslant 2} \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{b}}, & \textcolor{#c39417}{x > 2}
\end{cases}$, $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
3, & \textcolor{blue}{|x| \leqslant 1} \\
1, & \textcolor{blue}{|x| > 1}
\end{cases}$

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综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
f[g(x)] = \begin{cases}
a, & -2 \leqslant x \leqslant -1 \\
b, & -1 < x \leqslant 1 \\ a, & x > 1
\end{cases}
}
$$

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