考研数学三 – 荒原之梦

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过绘图的方式，从几何包含关系的视角，帮助同学们建立对数学中“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”之间关系的形象理解.

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$

等价向量组及其性质

一、什么是等价向量组

在线性代数里，两个向量组等价，本质上是说，这两个向量组能互相线性表示——当然，这两个向量组必须要么都是行向量，要么都是列向量.

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峰图 | 基于作用力分析的正态分布概率形态形成机制猜想

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将结合实际的概率事件，通过形象化的作用力分析的方法，尝试解释正态分布概率形态的形成机制，并基于此，对正态分布型概率事件内部对象的活动性质以及不同正态分布型概率事件之间可能的演变机制给出一个猜想。

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对于 0 而言，正负都一样，左右不一样

一、前言

下面这些量相等吗：

$$
0, \ -0, \ +0, \ 0^{-}, \ 0^{+}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对这一问题给出讲解.

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线性代数中“对角化”相关概念与性质的联合讲解

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对线性代数中的四种“对角化”给出全面的对比讲解：

相似对角化
合同对角化
正交对角化
一般对角化

二、正文

§2.1 相似对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为相似矩阵.

性质

对于 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$, 当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量时，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 才可以相似对角化；
在实数数域内，如果 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个互不相等的特征值（此时，特征值不能为虚数）的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 一定可以相似对角化；
在实数数域内，可以相似对角化的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不一定必须有 $n$ 个不相等的实特征值，例如，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 只有一个特征值 $1$, 但是，很显然，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 可以相似对角化：$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{E} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{E} = \boldsymbol{\Lambda}$.
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程能保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹不发生变化；
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程能保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不发生变化；
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程能保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不发生变化；
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程能保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量不发生变化；

§2.2 合同对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以合同对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为合同矩阵.

性质

当 $\boldsymbol{A}$ 是一个关于主对角线对称的实对称矩阵的时候（即 $\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}$）一定可以合同对角化，因为实对称矩阵一定可以正交对角化；
合同对角化一般不能保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
合同对角化一般能保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不变；
合同对角化一般用于二次型的化简.

§2.3 正交对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以正交对角化，或者说，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 正交相似.

性质

根据《相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系》可知，正交对角化可以看作是相似对角化与合同对角化共同的特殊情况，因此，正交对角化同时具有相似对角化与合同对角化的部分性质（不是全部性质）：

对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行正交对角化，能保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既可以相似对角化，也可以合同对角化，还可以正交对角化，因为，存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}$；
能正交对角化的矩阵一定是实对称矩阵.

§2.4 一般对角化（等价对角化）

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 一般的对角化就是存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 为关于主对角线对称的对角矩阵.

性质

对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般不能保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般不能保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量不变；
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般不能保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹不变；
对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般能保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不变；
前面提到的相似对角化、合同对角化、正交对角化都是一般的对角化的特殊情况.

三、补充

[1]. 《“只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别》

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

“只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别

一、前言

在数学和逻辑表达中，条件关系通常分为三类：充分条件、必要条件和充要条件. 而在具体描述这些条件关系的时候，我们通常会使用诸如“只有”、“只有当”和“当且仅当”等词语，理解这些词语的准确而含义，有助于我们准确判断命题之间的逻辑关系.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下这些常用的条件关系词语的含义.

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相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对矩阵的相似变换、合同变换和正交变换之间的关系做一个详细的讲解.

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常用三角函数的取值对照表

	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$120^{\circ}$	$135^{\circ}$	$150^{\circ}$	$180^{\circ}$
	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2 \pi}{3}$	$\frac{3 \pi}{4}$	$\frac{5 \pi}{6}$	$\pi$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{-1}{2}$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	未定义	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$0$
$\cot \alpha$	未定义	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	未定义

峰式 | 用数字和排列组合探究逆矩阵乘法运算的特性

一、题目

设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为三阶矩阵，且 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} = 3$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} + \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = 2$, 则 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}^{-1} \end{vmatrix} = ?$

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反常积分敛散性三个常用公式中第二个公式的推论公式

一、前言

由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》可知，判断反常积分敛散性三个常用公式中的第二个公式为：

$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1 \\
\text{发散}, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的公式，推导出另一个判断反常积分敛散性的常用公式.

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峰图 | 任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln ⁡x$ 趋于 $- \infty$ 的速度

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导计算证明，当 $a > 0$ 的时候，任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln ⁡x$ 趋于 $- \infty$ 的速度，从而证明：

$$
\lim_{x \to 0^{+}} x^{a} \ln x = 0
$$

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判断反常积分敛散性的两个方法：泰勒展开和比值法

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过泰勒展开和比值两种方法判断下面这个反常积分的敛散性：

$$
\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$

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与积分的敛散性相关的概念：奇性、瑕积分、反常积分

一、前言

普通的定积分通常不需要专门讨论其敛散性，因为只要被积函数是连续的，这个定积分就一定收敛.

但是，还存在一类不一定收敛的积分（当然也不一定发散），就是“反常积分”，这个时候就需要讨论敛散性了——

反常积分的敛散性问题，本质上是一个极限问题，如果反常积分的极限存在，就说这个反常积分收敛，如果极限不存在，就说这个反常积分发散.

在本文中，「荒原之梦考研数学」会将这些与积分敛散性有关的一些概念做一个详细的梳理和讲解.

与积分的敛散性相关的概念：奇性、瑕积分、反常积分 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01. 积分的敛散性、反常积分、奇性、瑕积分

二、正文

什么是“奇性”？

所谓“奇性”就是：函数在某个点附近没有“普通”的函数值，即：

函数值不存在（函数在该点处没有定义）；
函数值趋于正无穷大 $+ \infty$;
函数值趋于负无穷大 $- \infty$.

存在奇性的点也被称为“奇点”或者“瑕点”.

什么是“瑕积分”？

所谓“瑕积分”就是：积分区间（积分的上下限）一般是有限的，但被积函数在区间内某点或端点处存在奇性.

例如，对于积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$, 在 $x=0$ 处，有：

$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty
$$

所以这不是普通定积分，而是瑕积分：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$

如果 $\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$ 这个极限存在，我们就说这个瑕积分收敛；否则就说这个瑕积分发散.

需要注意的是，函数在某点趋于无穷，不代表积分一定发散.

关于这一问题，我们可以简单地理解为：趋于无穷的速度快（函数图象与坐标轴围起来的面积不会无限增长），就可能不发散，趋于五穷的速度慢（函数图象与坐标轴围起来的面积无限增长），就可能发散.

例如，对于下面的积分，虽然被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $0$ 处趋于无穷大，但是，该积分是收敛的：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$

而对于下面的积分，被积函数 $\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处也趋于无穷大，但是，该积分是发散的：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d}x
$$

什么是“反常积分”？

反常积分一般包括两类：

积分区间无限的反常积分，例如：

$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d}x
$$

积分区间有限，但被积函数有奇性的反常积分（也被称为瑕积分），例如：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x
$$

奇性和积分的敛散性有什么关系？

对于一个反常积分，只要有一个地方发散，整体就发散，而存在奇性的点很可能存在发散现象，所以，在判断反常积分敛散性的时候，我们要格外注意存在奇性的点.

例如，若 $x=0$ 和 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 存在奇性的点（奇点），那么，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，就必须将积分区间分开看：

$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$

只有 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这两个积分都收敛，原来的整个积分才收敛；如果其中一个发散，那么原来的整个积分就发散.

当然，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，我们也可以拆成下面这样的形式：

$$
\int_{0}^{\xi} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\xi}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$

其中，$\xi \in \left( 0, 1 \right)$.

一、题目

设 $D$ 为在 $y = \left(x – 1\right)^{2}$ 上方、在 $y = x + 1$ 下方的区域. 求将 $\mathcal{R}$ 绕 $X$ 轴旋转所得立体的体积.

难度评级：

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	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$