由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》可知，判断反常积分敛散性三个常用公式中的第二个公式为：
$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1 \\
\text{发散}, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的公式，推导出另一个判断反常积分敛散性的常用公式.
继续阅读“反常积分敛散性三个常用公式中第二个公式的推论公式”在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过推导计算证明，当 $a > 0$ 的时候，任意正次幂 $x^{a}$ 趋于 $0$ 的速度快于 $\ln x$ 趋于 $- \infty$ 的速度，从而证明：
$$
\lim_{x \to 0^{+}} x^{a} \ln x = 0
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过泰勒展开和比值两种方法判断下面这个反常积分的敛散性：
$$
\int_{0}^{1} \frac{x \ln x}{\left( 1 – x \right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$
难度评级：
继续阅读“判断反常积分敛散性的两个方法：泰勒展开和比值法”普通的定积分通常不需要专门讨论其敛散性，因为只要被积函数是连续的，这个定积分就一定收敛.
但是，还存在一类不一定收敛的积分（当然也不一定发散），就是“反常积分”，这个时候就需要讨论敛散性了——
反常积分的敛散性问题，本质上是一个极限问题，如果反常积分的极限存在，就说这个反常积分收敛，如果极限不存在，就说这个反常积分发散.
在本文中，「荒原之梦考研数学」会将这些与积分敛散性有关的一些概念做一个详细的梳理和讲解.
所谓“奇性”就是：函数在某个点附近没有“普通”的函数值，即：
存在奇性的点也被称为“奇点”或者“瑕点”.
所谓“瑕积分”就是：积分区间（积分的上下限）一般是有限的，但被积函数在区间内某点或端点处存在奇性.
例如，对于积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$, 在 $x=0$ 处，有：
$$
\frac{1}{\sqrt{x}} \to \infty
$$
所以这不是普通定积分，而是瑕积分：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x = \lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$
如果 $\lim_{\varepsilon \to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$ 这个极限存在，我们就说这个瑕积分收敛；否则就说这个瑕积分发散.
需要注意的是，函数在某点趋于无穷，不代表积分一定发散.
关于这一问题，我们可以简单地理解为：趋于无穷的速度快（函数图象与坐标轴围起来的面积不会无限增长），就可能不发散，趋于五穷的速度慢（函数图象与坐标轴围起来的面积无限增长），就可能发散.
例如，对于下面的积分，虽然被积函数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $0$ 处趋于无穷大，但是，该积分是收敛的：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d}x
$$
而对于下面的积分，被积函数 $\frac{1}{x}$ 在 $0$ 处也趋于无穷大，但是，该积分是发散的：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d}x
$$
反常积分一般包括两类：
$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d}x
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d}x
$$
对于一个反常积分，只要有一个地方发散，整体就发散，而存在奇性的点很可能存在发散现象，所以，在判断反常积分敛散性的时候，我们要格外注意存在奇性的点.
例如，若 $x=0$ 和 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 存在奇性的点（奇点），那么，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，就必须将积分区间分开看：
$$
\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$
只有 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 和 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这两个积分都收敛，原来的整个积分才收敛；如果其中一个发散，那么原来的整个积分就发散.
当然，对于 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x$ 这个积分，我们也可以拆成下面这样的形式：
$$
\int_{0}^{\xi} f\left(x\right) \mathrm{~d}x + \int_{\xi}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x
$$
其中，$\xi \in \left( 0, 1 \right)$.
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以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
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设 $D$ 为在 $y = \left(x – 1\right)^{2}$ 上方、在 $y = x + 1$ 下方的区域. 求将 $\mathcal{R}$ 绕 $X$ 轴旋转所得立体的体积.
难度评级：
继续阅读“双层旋转体体积的计算”在下面的式子中，列向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}^{\top}$ 和行向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}$ 相乘（外积）所得的 $5 \times 5$ 的矩阵中，每一个元素都是一个真实存在的汉字：
$$
\begin{pmatrix}
\text{金} \\
\text{木} \\
\text{水} \\
\text{火} \\
\text{土}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\text{鍂} & \text{鈢} & \text{淦} & \text{鈥} & \text{釷} \\
\text{鈢} & \text{林} & \text{沐} & \text{炑} & \text{杜} \\
\text{淦} & \text{沐} & \text{沝} & \text{淡} & \text{汢} \\
\text{鈥} & \text{炑} & \text{淡} & \text{炎} & \text{灶} \\
\text{釷} & \text{杜} & \text{汢} & \text{灶} & \text{圭} \\
\end{pmatrix}
$$
当然，基于天干地支纪年法，也可以表示向量乘法运算（外积）：
$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲}} \\
\tiny{\text{乙}} \\
\tiny{\text{丙}} \\
\tiny{\text{丁}} \\
\tiny{\text{戊}} \\
\tiny{\text{己}} \\
\tiny{\text{庚}} \\
\tiny{\text{辛}} \\
\tiny{\text{壬}} \\
\tiny{\text{癸}}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\tiny{\text{子}} & \tiny{\text{丑}} & \tiny{\text{寅}} & \tiny{\text{卯}} & \tiny{\text{辰}} & \tiny{\text{巳}} & \tiny{\text{午}} & \tiny{\text{未}} & \tiny{\text{申}} & \tiny{\text{酉}} & \tiny{\text{戌}} & \tiny{\text{亥}}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲子}} & & \tiny{\text{甲寅}} & & \tiny{\text{甲辰}} & & \tiny{\text{甲午}} & & \tiny{\text{甲申}} & & \tiny{\text{甲戌}} & \\
& \tiny{\text{乙丑}} & & \tiny{\text{乙卯}} & & \tiny{\text{乙巳}} & & \tiny{\text{乙未}} & & \tiny{\text{乙酉}} & & \tiny{\text{乙亥}} \\
\tiny{\text{丙子}} & & \tiny{\text{丙寅}} & & \tiny{\text{丙辰}} & & \tiny{\text{丙午}} & & \tiny{\text{丙申}} & & \tiny{\text{丙戌}} & \\
& \tiny{\text{丁丑}} & & \tiny{\text{丁卯}} & & \tiny{\text{丁巳}} & & \tiny{\text{丁未}} & & \tiny{\text{丁酉}} & & \tiny{\text{丁亥}} \\
\tiny{\text{戊子}} & & \tiny{\text{戊寅}} & & \tiny{\text{戊辰}} & & \tiny{\text{戊午}} & & \tiny{\text{戊申}} & & \tiny{\text{戊戌}} & \\
& \tiny{\text{己丑}} & & \tiny{\text{己卯}} & & \tiny{\text{己巳}} & & \tiny{\text{己未}} & & \tiny{\text{己酉}} & & \tiny{\text{己亥}} \\
\tiny{\text{庚子}} & & \tiny{\text{庚寅}} & & \tiny{\text{庚辰}} & & \tiny{\text{庚午}} & & \tiny{\text{庚申}} & & \tiny{\text{庚戌}} & \\
& \tiny{\text{辛丑}} & & \tiny{\text{辛卯}} & & \tiny{\text{辛巳}} & & \tiny{\text{辛未}} & & \tiny{\text{辛酉}} & & \tiny{\text{辛亥}} \\
\tiny{\text{壬子}} & & \tiny{\text{壬寅}} & & \tiny{\text{壬辰}} & & \tiny{\text{壬午}} & & \tiny{\text{壬申}} & & \tiny{\text{壬戌}} & \\
& \tiny{\text{癸丑}} & & \tiny{\text{癸卯}} & & \tiny{\text{癸巳}} & & \tiny{\text{癸未}} & & \tiny{\text{癸酉}} & & \tiny{\text{癸亥}}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
注意：按照严格的干支纪年法，只有阴阳才能相配，一共有 60 个组合，即“六十甲子”. 因此，在上面的向量乘法运算中，用空位表示不属于六十甲子的组合.
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
$$
\int \frac{g^{\prime}\left(x\right)}{g\left(x\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“被积函数中分子是分母的导数该怎么计算？”$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}\left(1 – \sqrt{x}\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“积分换元的时候不能只考虑被积函数”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
根据矩阵乘法运算的左行右列性质，一个上（下）三角矩阵左乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的行都乘以对角矩阵对角线上对应的元素；一个上（下）三角矩阵右乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的列都乘以对角矩阵对角线上对应的元素.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形化性质对上面的这一结论做一个形象化的说明.
继续阅读“峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过峰图所表现出的“拓印”过程，形象地揭示矩阵初等变换过程中一些有趣也有意义的现象.
继续阅读“峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形性质，形象化地证明下面的定理：
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原理分析和实际的例子，说明矩阵的初等行变换或者初等列变换可以表现出“方向性”，特别是“单向性”.
继续阅读“任何矩阵初等变换的集合都可以表现出“方向性””在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过线性方程组的视角证明下面的两个定理：
通过 2021 年的考研数二真题第 09 题，我们可以知道，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量如果可以被矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解就一定包含齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.
在上面这道题目中，「荒原之梦考研数学」给出了五种不同的解法，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过峰式图的方式，给出针对该题目第五种解法的图形化理解.
继续阅读“峰图 | 基于“砖块砌墙理论”理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系”