在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用

一、前言

罗尔定理是高等数学和考研数学中一个基础且重要的定理，「荒原之梦考研数学」也使用一种非常直观的方式证明了罗尔定理。但是，我们在做题的时候就会发现，仅仅使用传统意义上的罗尔定理，有时候并不能非常好的完成解题，也就是说，罗尔定理需要“进化”。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过在无穷意义上对罗尔定理的扩展，为同学们提供另一个解题视角。

二、正文

我对无穷意义上罗尔定理的思考来源于一道题目：

传统的罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[a, b]$ 上连续；在开区间 $(a, b)$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(a) = f(b)$, 则至少有一个点 $\xi \in (a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$.

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为了方便同学们对接下来内容的理解，我们首先首先将 $g(x)$ $=$ $\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$ 的函数图像示意图绘制出来，如图 01 所示：

从上图可以看出，函数 $g(x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上存在两个驻点 $\alpha$ 和 $\beta$.

按照传统罗尔定理的解题要求，如果要找到函数 $g(x)$ 的驻点，就需要找到一些自变量的取值，使得对应的函数值相等，例如：

$$
\begin{cases}
g(x) = 1 \\
g(x) = 0 \\
g(x) = -1.5
\end{cases}
$$

如图 02 所示，当 $g(x) = 1$ 时，我们能找到 $2$ 个交点 $i$, $j$; 当 $g(x) = 0$ 时，我们能找到 $2$ 个交点 $a$, $b$; 当 $g(x) = -1.5$ 时，我们能找到 $6$ 个交点 $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$.

然而，事实上，要通过纯粹的手算，计算出满足 $g(x) = 1$ 或者 $g(x) = -1.5$ 的自变量的取值，是一件颇具难度的事。

虽然计算 $g(x) = 0$ 就是计算 $|(x-1)(x-2)(x-3)| = 1$, 也就是计算下面两个一元三次方程：

$$
\begin{aligned}
& (x-1)(x-2)(x-3) = 1 \\
& (x-1)(x-2)(x-3) = -1
\end{aligned}
$$

但是，通过上面的一元三次方程，我们只能找到两个解：

$$
\begin{aligned}
& x_{1} \simeq 0.67528 \\
& x_{2} \simeq 3.32472
\end{aligned}
$$

然而，即便不考虑在区间 $\left( x_{1}, x_{2} \right)$ 上还存在着函数 $g(x)$ 的三个不可导点 $x$ $=$ $1$, $2$, $3$, 我们也只能根据传统的罗尔定理判断出在区间 $\left( x_{1}, x_{2} \right)$ 至少存在一个驻点这一结论，离确定函数 $g(x)$ 存在两个驻点这一事实还有相当的差距。

其实，只要我们对罗尔定理的使用条件稍作更改，就可以很方便的找到函数 $g(x)$ 的两个驻点，而不是一个驻点。

扩展的罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足在区间 $(a, b)$ 上连续且可微分；在区间端点处附近的函数极限值相等，即 $\textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow a} f(a) = \lim_{x \rightarrow b} f(b) }$, 或者 $\textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow a} f(a)}$ 和 $\textcolor{lightgreen}{\lim_{x \rightarrow b} f(b) }$ 互为同阶且同正负的无穷大或者无穷小，则至少有一个点 $\xi \in (a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$.

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同时，对于对数函数 $\ln$ 而言：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \ln \textcolor{magenta}{x} = -\infty
$$

同时，当 $\textcolor{pink}{k_{1}}$ 和 $\textcolor{pink}{k_{2}}$ 为常数的时候，极限 $\lim_{x_{1} \rightarrow 0} \ln \left( \textcolor{pink}{k_{1}} \textcolor{magenta}{x_{1}} \right)$ 和极限 $\lim_{x_{2} \rightarrow 0} \ln \left( \textcolor{pink}{k_{2}} \textcolor{magenta}{x_{2}} \right)$ 互为同阶无穷大。

于是可知，当我们用传统的罗尔定理不太容易找出函数 $g(x)$ 中的驻点时，就可以使用上面扩展的罗尔定理来寻找驻点。

如图 03 所示，对于函数 $g(x)$ $=$ $\ln |(x-1)(x-2)(x-3)|$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 1} g(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \ln |\textcolor{pink}{2} \textcolor{magenta}{(x-1)}| \rightarrow – \infty \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 2} g(x) = \lim_{x \rightarrow 2} \ln |\textcolor{pink}{-1} \textcolor{magenta}{(x-2)}| \rightarrow – \infty \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 3} g(x) = \lim_{x \rightarrow 3} \ln |\textcolor{pink}{2} \textcolor{magenta}{(x-3)}| \rightarrow – \infty
\end{aligned}
$$

于是可知，$\lim_{x \rightarrow 1} g(x)$, $\lim_{x \rightarrow 2} g(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 3} g(x)$ 是三个同阶同正负的无穷大量。

因此，根据本文中扩展后的罗尔定理可知，函数 $g(x)$ 在区间 $(1， 2)$ 上存在至少一个驻点，在区间 $(2, 3)$ 上存在至少一个驻点。

从上面的计算过程可以看到，使用扩展之后的罗尔定理对类似 $g(x)$ 这种函数进行驻点存在性的判断，会变得非常便捷迅速。

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