在极限计算中使用反常积分的上下限时，一定要注意区分左右

一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

二、解析

无论是无穷大、$0$、还是其他一般的常数 $k$，在计算趋于他们的极限时，都需要考虑一下“左右”的问题，也就是从数轴的左边趋于该极限，还是从数轴的右边趋于该极限：

1. 对于无穷大而言，其“左右”很好区分：$- \infty$ 就是左边，$+ \infty$ 就是右边；
2. 而对于 $0$ 或者一般的常数 $k$, $0^{-}$ 或者 $k^{-}$ 就是左边，$0^{+}$ 或者 $k^{+}$ 就是右边。

具体到本题来说：

1. 在反常积分 $\textcolor{orange}{ I_{1} }$ 中，由于其积分区域为 $(- \infty, 0)$, 所以，在进行极限计算时，实际上参与计算的积分区域应为 $(- \infty, \textcolor{orange}{0^{-}} )$;
2. 在反常积分 $\textcolor{lightgreen}{ I_{2} }$ 中，由于其积分区域为 $(0， + \infty)$, 所以，在进行极限计算时，实际上参与计算的积分区域应为 $(\textcolor{lightgreen}{0^{+}}, + \infty )$;

于是：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{orange}{ I_{1} } & = \int_{− \infty}^{0}\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e} ^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} ⁢⁢⁢x \\ \\
& = \int_{− \infty}^{\textcolor{orange}{ 0^{-} }}\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} ⁢⁢⁢x \\ \\
& = −\int _{− \infty}^{\textcolor{orange}{ 0^{-} }} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} \left( \frac{1}{x} \right) \\ \\
& = − \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \Big|_{− \infty}^{\textcolor{orange}{ 0^{-} }} \\ \\
& = −\left(\lim \limits_{x\rightarrow \textcolor{orange}{ 0^{-} }} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} − \lim \limits_{x\rightarrow – \infty } \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right) \\ \\
& = – \left( \textcolor{tan}{\mathrm{e}^{- \infty}} – 1 \right) \\ \\
& = – \left( \textcolor{tan}{0} – 1 \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{1} \\ \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ I_{2} } & = \int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{\textcolor{lightgreen}{ 0^{+} } }^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = −\int_{\textcolor{lightgreen}{0^{+}}}^{ + \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} \left( \frac{1}{x} \right) \\ \\
& = −\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \Big|_{\textcolor{lightgreen}{ 0^{+} }}^{ +\infty} \\ \\
& = −\left(\lim \limits_{x\rightarrow + \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}−\lim \limits_{x\rightarrow \textcolor{lightgreen}{ 0^{+} }} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\right) \\ \\
& = −1 + \textcolor{tan}{ \lim \limits_{x\rightarrow \textcolor{lightgreen}{ 0^{+} }} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} } \\ \\
& = -1 + \textcolor{tan}{\mathrm{e}^{+ \infty}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{+ \infty}
\end{aligned}
$$

拓展资料

本题中函数 $y = \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 的图象如图 01 所示：

绘制图 01 中函数图象的 Octave 代码：

% 定义 x1 的取值范围
x1 = linspace(-10, -0.01, 500);
% 计算 x1 对应的函数值
y1 = (1./(x1.^2)).* exp(1./x1);

% 定义 x2 的取值范围
x2 = linspace(0.6, 10, 500);
% 计算 x2 对应的函数值
y2 = (1./(x2.^2)).* exp(1./x2);

% 绘制 x1 对应的函数图象，设置线条宽度为 2
plot(x1, y1);
% 保持当前图形，以便后续添加新的图形
hold on;
% 绘制 x2 对应的函数图象，设置线条宽度为 2
plot(x2, y2);

% 释放保持状态
hold off;

% 添加轴标签
xlabel('X');
ylabel('Y');

% 显示网格线
grid on;

---