微分中的一个定理：$ds=1$

一、题目

二、解析

若设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数（根据常数 $C_{i}$ 取值的不同，$f(x)$ 事实上有无数个原函数：$F(x) + C_{1}$, $F(x) + C_{2}$, $F(x) + C_{3}$, $\cdots$），则有：

$$
\textcolor{violet}{
F^{\prime}(x) = f(x)
} \tag{1}
$$

$$
\textcolor{yellow}{
\int f(x) \mathrm{~d} x = F(x) + C
} \tag{2}
$$

又根据微分的定义可知，函数 $F(x)$ 的微分 $\textcolor{lightgreen}{ \mathrm{d} F(x) }$ 等于该函数的导数 $\textcolor{lightgreen}{ F ^{\prime} (x) }$ 乘以自变量 $x$ 的微分 $\textcolor{lightgreen}{ \mathrm{d} x }$, 即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{d} F(x) = F^{\prime}(x) \mathrm{~d} x
} \tag{3}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d} \left[ \int f(x) \mathrm{~d} x \right] \\ \\
\textcolor{yellow}{(2)} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{d} \left[ F(x) + C \right] \\ \\
= \ & \mathrm{d} F(x) + \mathrm{d} C \\ \\
= \ & \mathrm{d} F(x) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{(3)} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & F^{\prime}(x) \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{violet}{(1)} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & f(x) \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

综上可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\mathrm{d} \left[\int f(x) \mathrm{~d} x \right] = f(x) \mathrm{~d} x
}
}
$$

于是可知，B 选 项 正 确。

拓展资料

分析上面的结论可知，如果将积分符号 “$\textcolor{magenta}{\int}$” 看作字母 “$\textcolor{magenta}{s}$”, 则我们可以将上面的运算规律总结为：

$$
\textcolor{magenta}{
ds = 1
}
$$

从而可以实现微分（$\mathrm{~d}$）与积分（$\int$）混合运算的快速求解：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\mathrm{d}} \left[\textcolor{magenta}{ \int } f(x) \mathrm{~d} x \right] \\ \\
= \ & \textcolor{magenta}{1} \cdot f(x) \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & f(x) \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

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