用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过汽车在公路上行驶时的加速和减速过程，来帮助同学们理解函数在一点处的可导性，或者说函数在一点处导数的存在性。

假设汽车在一条平直的公路上形式，并用“左端”和“右端”区分公路的两个方向，对应“时间-速度”坐标系 $TOV$ 横轴 $T$ 的左侧和右侧。

我们不妨规定，当汽车向左行驶时，其速度为负值，向右行驶时，其速度为正值。

由于无论汽车的速度是正值还是负值，都不影响加速和减速的加速度对汽车速度的影响。所以，在本文中，我们只考虑汽车的速度为正值的情况，也就是只考虑 $TOV$ 函数图象位坐标系于纵轴 $V$ 正半轴的部分。

由于“时间-速度”坐标系 $TOV$ 描述了汽车的速度随时间变化的关系，那么，根据物理定律可知，$TOV$ 坐标系中的函数图象切线斜率（即该函数的导数）的变化就反映了汽车的加速度（这个加速度可能导致汽车加速或者减速）。

因此，如果在整个形式过程中汽车的加速度一直都是存在的，那么，对应的速度变化（也就是 $TOV$ 坐标系中的函数图象）就必然是连续且平滑的。

于是，对某个时间点而言，如果要描述该点的加速度，则汽车的速度 $V$ 随时间 $T$ 的变化就必然是连续的。所以，图 01 和图 02 所示的 $T = 0$ 点处的导数就不存在，因为我们无法用加速度描述 $T = 0$ 点处速度的瞬间变化：

当然，如果一个时间点处的速度并不存在，那么该点处的导数也不存在，因为加速度的存在需要依赖一个具体的速度。所以，图 03 所示的 $T = 0$ 点处的导数不存在：

综上可知，在 $TOV$ 函数图象中，只有速度 $V$ 随时间 $T$ 平滑变化的位置，才存在加速度。因此，图 04 中 $T = 0$ 处的以及附近的导数都是存在的：