曲线与 X 轴所围图形的面积怎么算？积分+绝对值

一、题目

请用定积分表示曲线 $y$ $=$ $x(x – 1)(2 – x)$ 与平面直角坐标系 $X$ 轴所围图形的面积 $S$

二、解析

首先，令 $y$ $=$ $x(x – 1)(2 – x)$ $=$ $0$ 可知，曲线 $y$ 与坐标系 $X$ 存在 $x = 0$, $x = 1$ 和 $x = 2$ 三个交点。

由于只有曲线与坐标系 $X$ 轴两个交点之间的曲线才会与坐标系 $X$ 轴围成图形，所以，曲线 $y$ 与坐标系 $X$ 轴围成的图形一定在区间 $(0, 1)$ 和 $(1, 2)$ 上产生。

那么，我们是否需要在区间 $(0, 1)$ 和 $(1, 2)$ 上分别进行积分运算呢？是否需要考虑曲线 $y$ 位于坐标系 $X$ 轴下方的图形与坐标系之间围成的图形在积分中对应的负数值面积呢？

其实，根据定积分和函数的几何意义可知，只要我们对曲线 $y$ 取 绝 对 值 ，就相当于将坐标系 $X$ 轴下方的图形翻转到了坐标系 $X$ 轴的上方；并且，$(0, 1)$ 和 $(1, 2)$ 这两个区间之间实际上只有一个点 $(1, 1)$, 而“点”的存在并不会影响面积。

于是，我们可以通过直接在区间 $(0, 2)$ 上进行 积 分 运算的方式，表示出曲线 $y$ 与平面直角坐标系 $X$ 轴所围图形的面积 $S$:

$$
\begin{aligned}
S & = \int_{0}^{2} \textcolor{orangered}{ | \textcolor{white}{y} | } \mathrm{~d} x \\ \\
& = \int_{0}^{2} \textcolor{orangered}{ | \textcolor{white}{ x(x – 1)(2 – x) } | } \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{gray}{x > 0, \ 2 – x > 0} \\ \\
& = \int_{0}^{2} x \textcolor{orangered}{ | \textcolor{white}{ x – 1 } | } ( 2 – x ) \mathrm{~d} x \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ – \int_{0}^{1} x (x – 1)(2 – x) \mathrm{~d} x + \int_{1}^{2} x (x – 1)(2 – x) \mathrm{~d} x }
\end{aligned}
$$

---