标签： 高等数学基础

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$ $=$ $f(0)$ $+$ $f^{\prime }(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}$ $x^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ $x^n$ $+$ $\cdots$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}$ ${(x-x_0)}^n$ $=$

$f\left(x_0\right)$ $+$ $f^{\prime }\left(x_0\right)$ $(x-x_0)$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}$ ${(x-x_0)}^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}$ ${(x-x_0)}^n$ $+$ $\cdots$

$f^{\prime }(x)$ $=$

${\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ ${\left(a_n{x}^n\right)}^{\prime }$ $=$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $n$ $a_n$ $x^{n-1}$.

${\int }_0^x$ $f(t)$ $\mathrm{d}t$ $=$

${\int }_0^x$ $($ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$ $)$ $\mathrm{d}x$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $($ ${\int }_0^x$ $a_n$ $x^n$ $\mathrm{d}x$ $)$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$

幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$ 和其对应的函数 $f(x)$ 在其收敛域 $I$ 上都是连续的。

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$ $\pm$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ $x^n$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $($ $a_n$ $\pm$ $b_n$ $)$ $x^n$ $=$ $f(x)$ $\pm$ $g(x)$.

其中，$x$ $\in$ $(-R,R)$.

且 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(a_n\pm b_n)$ $x^n$ 在 $(-R,R)$ 内绝对收敛.

$(-R,R)$

$R$ $=$ $0$

$R$ $=$ $+\mathrm{\infty }$

$R$ $=$ $\frac{1}{\rho }$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ ${(x-x_0)}^n$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$

若 $u_n$ $\ge$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$, 则，该交错级数收敛，并且，其和 $S$ $⩽$ $u_1$, 余项 $|$ $R_n$ $|$ $⩽$ $u_{n+1}$.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 必收敛