高等数学练习题 – 第 3 页

一、题目

已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y ^{\prime} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ 的唯一解，则函数 $\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的显式表达式为 $\underline{\quad \quad \quad}$.

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一、题目

已知函数 $f \left( u, v \right)$ 满足 $f \left( x + y, \frac{y}{x} \right) = x^{2} – y^{2}$，则：

$$
\begin{aligned}
& \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ? \\ \\
& \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ?
\end{aligned}
$$

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极限运算中的高阶无穷小 $o(x^{n})$ 该怎么参与运算？

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1 – x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x – x \cos x}
$$

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一、题目

如图 01 所示，$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$，若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么？

计算质点和非质点之间引力的方法：微元法 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01.

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一、题目

请用定积分表示曲线 $y$ $=$ $x(x – 1)(2 – x)$ 与平面直角坐标系 $X$ 轴所围图形的面积 $S$

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一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

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峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。

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用定积分的定义计算数列和时怎么确定积分上下限？

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2}} \\ \\
I_{2} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2} \cdots \textcolor{orange}{ \left(1 + \frac{2n}{n} \right)^{2} } } \\ \\
\end{aligned}
$$

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定积分比大小的时候，一定要关注积分上下限的相对大小

一、题目

使不等式 $\int _ { 1 } ^ { x } \frac { \sin t } { t } \mathrm { ~ d } t > \ln x$ 成立的 $x$ 的取值范围是多少？

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你知道“一阶导等于零的点一定是驻点”这句话隐含了什么条件吗？

一、题目

函数 $f(x)$ $=$ $\ln|(x-1)(x-2)(x-3)|$ 有多少个驻点？

»A« $3$.

»B« $2$.

»C« $1$.

»D« $0$.

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微分中的一个定理：$ds=1$

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d} \left[\int f(x) \mathrm{~d} x \right]$ $=$ $?$

»A« $f(x)$.

»B« $f(x) \mathrm{~d} x$.

»C« $f^{\prime}(x) \mathrm{~d} x$.

»D« $f(x) \mathrm{~d} x + C$.

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乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ $=$ $-16$, 则在点 $x = 0$ 处 $f(x)$ ( )

»A« 取得极大值.

»C« 不可导.

»B« 取得极小值.

»D« 可导，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.

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在极限问题中，不要相信任何一个“等号”

一、题目

$$
I = \lim_{ x \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}} \right] = ?
$$

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求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

一、题目

若函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ $=$ $?$

»A« $n! f^{2n}(x)$

»B« $n! f^{n+1}(x)$

»C« $n f^{2n}(x)$

»D« $n f^{n+1}(x)$

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对含有 $\sin$ 或 $\cos$ 的被积函数做分部积分一般要做两次

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{- \alpha x} \cdot \textcolor{lightgreen}{\cos} \left( \beta x \right) \mathrm{~d} x = ? \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{- \alpha x} \cdot \textcolor{pink}{\sin} \left( \beta x \right) \mathrm{~d} x = ?
\end{aligned}
$$

其中，$\alpha > 0$.

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