对数可以将“指数因子”变成“乘数因子”

一、题目

难度评级：

二、解析

思路分析

分析可知，要求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$, 首先要证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛（发散的数列没有极限值）；而要证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛，就可以使用单调有界准则；所以，我们需要证明数列 ${ x_{n} }$ 的单调性和有界性，此时的思路图如图 01 所示：

初始计算

一般情况下，对于数列相关的题目，我们首先要做的，就是把用于描述数列性质的已知条件中的不同项拆分到等式的两侧。

但是，观察本题的已知条件 $\textcolor{orange}{x_{n}}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{\textcolor{lightgreen}{x_{n}}}-1$ 可以看到，数列的第 $n$ 项 $x_{n}$ 不仅位于等式的两侧，且一个是 乘 数 因 子 $\textcolor{orange}{x_{n}}$, 另一个 指 数 因 子 $\textcolor{lightgreen}{x_{n}}$, 那么，我们就需要利用在等式两边同时取 对 数 的方式，将指数因子变成乘数因子：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{orange}{x_{n}}\mathrm{e}^{x_{n+1}} = \mathrm{e}^{\textcolor{lightgreen}{x_{n}}}-1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln \left( \textcolor{orange}{x_{n}} \mathrm{e}^{x_{n+1}} \right) = \ln \left( \mathrm{e}^{\textcolor{lightgreen}{x_{n}}} – 1 \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln \textcolor{orange}{x_{n}} + \textcolor{orangered}{ \ln \mathrm{e}^{x_{n+1}} } = \ln \left( \mathrm{e}^{\textcolor{lightgreen}{x_{n}}} – 1 \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln \textcolor{orange}{x_{n}} + \textcolor{orangered}{ {x_{n+1}} } = \ln \left( \mathrm{e}^{\textcolor{lightgreen}{x_{n}}} – 1 \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{orangered}{ x_{n+1} } = \ln \left( \frac{\mathrm{e}^{\textcolor{lightgreen}{x_{n}}} – 1}{\textcolor{orange}{x_{n}}} \right)
\end{aligned}
$$

此外，根据基本初等函数的函数图像性质可知（如图 02 所示），当 $x \in (- \infty, + \infty)$ 的时候，函数 $y = \mathrm{e}^{x} – 1$ 的函数图像在 $y = x$ 函数图象的上方，即：$\mathrm{e}^{x} > x$.

同时，如图 03 所示，函数 $y = \ln x$ 在其定义域（$x > 0$）上是一个调单递增的函数：

有界性的证明

首先，由题可知：

$$
x_{1} > 0
$$

接着，由于函数 $y = \ln x$ 只在 $(0, + \infty)$ 区间上有定义，所以，我们不妨先设：

$$
x_{n} > 0, \quad n = 1, 2, 3, \cdots
$$

又由前面的初始计算可知：

$$
\begin{aligned}
& x_{n+1} = \ln \frac{\mathrm{e}^{x_{n}}-1}{x_{n}} > \ln \frac{x_{n}}{x_{n}} = \ln 1 = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x_{n+1} = \ln \frac{\mathrm{e}^{x_{n}}-1}{x_{n}} > 0
\end{aligned}
$$

于是：

当 $n = 1$ 的时候：$x_{2} = \ln \frac{\mathrm{e}^{x_{1}}-1}{x_{1}} > 0$ $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ $x_{2} > 0$;

当 $n = 2$ 的时候：$x_{3} = \ln \frac{\mathrm{e}^{x_{2}}-1}{x_{2}} > 0$ $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ $x_{3} > 0$;

··· ···

当 $n = n-1$ 的时候：$x_{n} = \ln \frac{\mathrm{e}^{x_{n-1}}-1}{x_{n-1}} > 0$ $\textcolor{lightgreen}{ \leadsto }$ $x_{n} > 0$;

因此，由数学归纳法可知, $x_{n}>0$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 所以数列 ${ x_{n} }$ 有下界.

Note

前面假设 $x_{n} > 0$ 是基于 $y = \ln x$ 的定义域做出的范围最大的假设，同时，后面通过数学归纳法也证明了该假设的成立，所以，无需再假设并验证 $x_{n} \leqslant 0$ 的情况。

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单调性的证明

对于数列 ${ x_{n} }$ 单调性的证明有以下两种方法：

方法一：构造函数

因为 $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 所以：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{e}^{x_{n+1}}-\mathrm{e}^{x_{n}} & = \frac{\mathrm{e}^{x_{n}}-1}{x_{n}}-\mathrm{e}^{x_{n}} \\ \\
& = \frac{\textcolor{orange}{ \mathrm{e}^{x_{n}}-1-x_{n}\mathrm{e}^{x_{n}}} }{x_{n}}
\end{aligned}
$$

构造函数：

$$
f(x) = \textcolor{orange}{ \mathrm{e}^{x}-1-x\mathrm{e}^{x} }
$$

则：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x) & = \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}-x\mathrm{e}^{x} \\ \\
& = \textcolor{yellow}{ -x\mathrm{e}^{x} }
\end{aligned}
$$

于是可知，当 $x > 0$ 时, $f ^{\prime} (x) < 0$, 此时 $f(x)$ 单调递减, 即：

$$
f(x)<f(0)=0
$$

因此，当 $x_{n} > 0$ 时：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{x_{n}}-1-x_{n}\mathrm{e}^{x_{n}} < 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{\mathrm{e}^{x_{n}}-1-x_{n}\mathrm{e}^{x_{n}}}{x_{n}} < 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ \mathrm{e}^{x_{n+1}}-\mathrm{e}^{x_{n}} < 0 }
\end{aligned}
$$

于是可知：

$$
\mathrm{e}^{x_{n+1}}<\mathrm{e}^{x_{n}}
$$

又因为 $y = \mathrm{e}^{x}$ 是一个单调递增的函数，所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
x_{n+1} < x_{n}
}
$$

综上可知，数列 ${ x_{n} }$ 单调递减.

方法二：拉格朗日中值定理

首先，由已知条件 $x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$ 可得：

$$
\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\frac{\mathrm{e}^{x_{n}}-1}{x_{n}}
$$

接着，由拉格朗日中值定理可知，存在 $0<\xi<x_{n}$, 使得下式成立：

$$
\mathrm{e}^{x_{n+1}}=\frac{\mathrm{e}^{x_{n}}-1}{x_{n}} = \frac{\mathrm{e}^{x_{n}}-\mathrm{e}^0}{x_{n} – 0} = \mathrm{e}^\xi
$$

即：

$$
x_{n+1} = \xi
$$

因此：

$$
\textcolor{lightgreen}{
0 < x_{n+1} < x_{n}
}
$$

综上可知，数列 ${ x_{n} }$ 单调递减.

综上，由单调有界原理可知，数列 ${ x_{n} }$ 单调且有下界，所以，当 $x \rightarrow \infty$ 的时候，${ x_{n} }$ 存在极限，即数列 ${ x_{n} }$ 收敛.

极限值的求解

接下来求解 $x_{n}$ 在 $x \rightarrow \infty$ 时的极限值：

由于已经证得数列 ${x_{n}}$ 收敛，所以设：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = A
$$

于是，在 $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}} – 1$ 两端对 $x_{n}$ 取极限，得：

$$
\begin{aligned}
& A \cdot \mathrm{e}^{A}=\mathrm{e}^{A} – 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ A = 0 }
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = 0
}
$$

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