乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

一、题目

二、解析

»A« 和 »B« 选项

首先，由 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ $=$ $-16$, 且 $\lim_{x \rightarrow 0} 1 – \cos x$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} x^{2}$ $=$ $0$ 可知，式子 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ 是一个 $\frac{0}{0}$ 型的定式，于是：

$$
\textcolor{yellow}{
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0
}
$$

又由于“ 函 数 在 连 续 点 处 的 极 限 值 ，就 是 在 该 点 处 的 函 数 值 ”，且 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(0) = 0
}
$$

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《关于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性》这篇文章，以及极限的局部保号性可知：

由于 $\textcolor{orange}{ -16 < 0 }$ 且 $\textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow 0} 1 – \cos x }$ $\textcolor{lightgreen}{ = }$ $\textcolor{lightgreen}{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} x^{2} }$ $\textcolor{lightgreen}{ \rightarrow }$ $\textcolor{lightgreen}{ 0^{+} }$, 所以，式子 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ 是一个 $\frac{\textcolor{orange}{0^{-}}}{\textcolor{lightgreen}{0^{+}}} = \textcolor{orange}{-K}$ 型的定式，于是：

存在 $x = 0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(0)$, 当 $x \in \mathring{U}(0)$ 时，$f(x) < 0 = f(0)$.

因此，当 $x \in \mathring{U}(0)$ 时，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值。

综上，»A« 选项 正 确 ，»B« 选项 错 误 。

»C« 和 »D« 选项

在判断一点 $x = 0$ 处的导数是否存在的时候，我们需要判断左导数 $f ^{\prime} _{-}(0)$ 和右导数 $f ^{\prime} _{+}(0)$ 的极限是否存在且相等：

$$
\begin{aligned}
& f ^{\prime} _{-} (0) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \textcolor{yellow}{ \frac{f(x) – f(0) }{x – 0} } \\ \\
& f ^{\prime} _{+} (0) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \textcolor{yellow}{ \frac{f(x) – f(0) }{x – 0} }
\end{aligned}
$$

虽然，根据题目我们知道下面这个式子的极限存在：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{violet}{ \frac{f(x)}{1 – \cos x} } = -16
$$

同时，下面的等式成立：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{violet}{ \frac{f(x)}{1 – \cos x} } = \lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{yellow}{ \frac{f(x) – f(0) }{x – 0} } \cdot \textcolor{tan}{ \frac{x}{1 – \cos x} } = -16
$$

但是，乘积 $\lim_{x \rightarrow 0} \textcolor{yellow}{ \frac{f(x) – f(0) }{x – 0} } \cdot \textcolor{tan}{ \frac{x}{1 – \cos x} }$ 在 $x \rightarrow 0$ 时的极限存在，并不意味着乘积的因子 $\textcolor{yellow}{ \frac{f(x) – f(0) }{x – 0} }$ 和 $\textcolor{tan}{ \frac{x}{1 – \cos x} }$ 在 $x \rightarrow 0$ 时的极限也存在，即“ 乘 积 的 极 限 存 在 ，因 子 的 极 限 不 一 定 也 都 存 在 ”。

所以，我们无法判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的可导性，更无法判断导数 $f ^{\prime} (0)$ 是否等于 $0$.

综上，»C« 选项和 »D« 选项 错 误 。

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