求复合函数偏导数的两种方式:先求导再代换、先代换再求导

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

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计算质点和非质点之间引力的方法:微元法

一、题目题目 - 荒原之梦

如图 01 所示,$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$,若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么?

计算质点和非质点之间引力的方法:微元法 | 荒原之梦考研数学 | 图 01.
图 01.
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在极限计算中使用反常积分的上下限时,一定要注意区分左右

一、题目题目 - 荒原之梦

判断下面反常积分的敛散性:

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

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峰式田字格:确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算

一、前言 前言 - 荒原之梦

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中,我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中,我将继续拓展“田字格”这一工具,在自变量含有绝对值运算的题目中,给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。

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用定积分的定义计算数列和时怎么确定积分上下限?

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2}} \\ \\
I_{2} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2} \cdots \textcolor{orange}{ \left(1 + \frac{2n}{n} \right)^{2} } } \\ \\
\end{aligned}
$$

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微分中的一个定理:$ds=1$

一、题目题目 - 荒原之梦

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乘积的极限存在,因子的极限不一定也都存在

一、题目题目 - 荒原之梦

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求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

一、题目题目 - 荒原之梦

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对含有 $\sin$ 或 $\cos$ 的被积函数做分部积分一般要做两次

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{- \alpha x} \cdot \textcolor{lightgreen}{\cos} \left( \beta x \right) \mathrm{~d} x = ? \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{- \alpha x} \cdot \textcolor{pink}{\sin} \left( \beta x \right) \mathrm{~d} x = ?
\end{aligned}
$$

其中,$\alpha > 0$.

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扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言 前言 - 荒原之梦

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头:分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中,我们主要讨论了当 $x \rightarrow +\infty$, 且 $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候,极限式子“取大头去小头”的定理,在本文中,我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展,助力同学们提升解题速度。

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