用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系

一、题目

难度评级：

二、解析

第（Ⅰ）问

对函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$ 求导，得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}
} \tag{1}
$$

接着，令 $f^{\prime} (x) = 0$，得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
x=1
} \tag{2}
$$

由上面的 $(1)$, $(2)$ 式，可知：

1. 当 $0 < x < 1$ 时，$f^{\prime} (x) < 0$, 函数 $f(x)$ 单调递减；
2. 当 $x > 1$ 时，$f^{\prime} (x) > 0$, 函数 $f(x)$ 单调递增.

于是可知，$x = 1$ 是函数 $f(x)$ 的最小值点，最小值为 $f(1) = 1$.

第（Ⅱ）问

分析可知，数列 ${ x_{n} }$ $=$ $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}$ 对应的函数其实就是 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$, 因此，要求解数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$ 时的极限，其实就是求解函数 $f(x)$ 满足条件 $f(x) < 1$ 时的极值。

对此，有同学可能存在下面三个疑问：

疑问一：

在函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$ 中，”$\ln x$” 中的 “$x$” 和 “$\frac{1}{x}$” 中的 “$x$” 取值是相等的，但是，数列 ${ x_{n} }$ $=$ $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}$ 中，”$\ln x_{n}$” 中的 “$x_{n}$” 和 “$\frac{1}{x_{n+1}}$” 中的 “$x_{n+1}$” 分明就是数列的两个不同的项，为什么说数列 ${ x_{n} }$ 对应的函数就是 $f(x)$ 呢？

回答一：

当 $n$ 为有限值的时候，很显然，$x_{n} \neq x_{n+1}$, 且对应的数列项 ${ x_{n} } \neq { x_{n+1} }$.

但是，在极限的场景下，也就是当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，如果数列 ${ x_{n} }$ 的极限存在，则：

$$
{ x_{n} } = { x_{n+1} } = A
$$

既然在 $n \rightarrow \infty$ 的时候，第 $n$ 项和第 $n+1$ 项在数列中对应的极限相等，那么，我们就可以认为，当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，有：

$$
x_{n} = x_{n+1}
$$

于是，数列 ${ x_{n} }$ $=$ $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}$ 中的 $x_{n}$ 和 $x_{n+1}$ 都可以看作函数 $f(x)$ 中的自变量 $x$.

疑问二：

要求解的数列极限是在 $n \rightarrow \infty$ 的时候取得的，但是对应的函数极值却是在有限的区间中产生的，这不矛盾吗？

回答二：

不矛盾，因为即便是一段很小的函数取值区间，其中也包含着无数个自变量的取值点。

当 $n$ 的取值不受限制的时候，$n \rightarrow \infty$ 显然就是说 $n$ 的取值在数轴上向远处无限延伸，如图 01 所示：

但是，当 $n$ 的取值受到限制的时候，$n \rightarrow \infty$ 则指的是，将这个有限的区间分成无穷多份，$n$ 向第无穷多份取值的过程，如图 02 所示：

那么，在本文中，数列 ${ x_{n} }$ 中的 $n$ 受到的限制就是：

$$
\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1
$$

因为通过数列 ${ x_{n} }$ 对应的函数 $f(x)$ 的函数图象（图 03.）可以看出，使 $\ln x + \frac{1}{x} < 1$ 成立的自变量的取值区间就是 $(0, 1)$.

因此，如果将区间 $(0, 1)$ 分成无穷多份，那么，$n \rightarrow \infty$, 其实就等价于 $x \rightarrow 1$, 即：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 1} \tag{3}
$$

又根据前面的分析可知，数列 ${ x_{n} }$ 和函数 $f(x)$ 也具有等价的关系：

$$
{ x_{n} } \Leftrightarrow f(x) \tag{4}
$$

并且，由第（Ⅰ）问中所求得的函数 $f(x)$ 的极值，可知：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 1 \tag{5}
$$

于是，由 $(3)$, $(4)$, $(5)$ 式可知：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} { x_{n} } = 1
$$

疑问三：

把数列极限看作函数极值有什么用途吗？

回答三：

其实，将数列和函数联系起来，是我们在一般情况下，经常使用的一种解题方法，而在本文中，「荒原之梦考研数学」将这一方法进行了更加细致化的阐述。

用函数的极值来理解数列的极限，既可以让我们从另一个角度，加深对数列极限本质的理解，也可以利用函数一般可以绘制出函数图象的性质，对数列的极限建立更加形象化的感知，从而在做题时帮助明确做题思路。

Next

其实在前面的“回答二”中，我们已经将数列 ${ x_{n} }$ 在 $n \rightarrow \infty$ 时的极限解出来了，但上面的求解过程更侧重于让同学们理解数列极限与函数极值之间的关系。如果是在做题的时候，我们可以通过下面更为“标准”的步骤来求解本题的第（Ⅱ）问：

由第（Ⅰ）问知，$f(x)=\ln x + \frac{1}{x}\geqslant 1$，所以：

$$
\ln x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\geqslant 1
$$

又由题可知 $\ln x_{n}+\frac{1}{x_{n+1}}<1$，所以：

$$
\begin{aligned}
& \ln x_{n}+\frac{1}{x_{n+1}}<\ln x_{n}+\frac{1}{x_{n}} \\ \\ \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{1}{x_{n+1}}<\frac{1}{x_{n}} \\ \\ \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{gray}{x_{n} > 0} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x_{n-1} > x_{n}
\end{aligned}
$$

于是可知，数列 ${ x_{n} }$ 单调递增.

又因为 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$，$x_{n+1}>0$，所以：

$$
\begin{aligned}
& \ln x_{n} < 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x_{n} < \mathrm{e}
\end{aligned}
$$

于是可知，数列 ${x_{n}}$ 有上界.

综上，由单调有界原理知 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在.

设 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}=A$，

又因为 $\ln x_{n}+\frac{1}{x_{n+1}}<1\leqslant \ln x_{n}+\frac{1}{x_{n}}$, 所以：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln x_{n}+\frac{1}{x_{n+1}}\right)\leqslant 1\leqslant \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln A + \frac{1}{A} \leqslant 1 \leqslant \ln A + \frac{1}{A} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln A + \frac{1}{A} = 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & A = 1
\end{aligned}
$$

于是可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = 1
}
$$

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