标签： 高等数学基础

$y’$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$

解释：
要对隐函数 $F(x,y)$ $=$ $0$ 求导，只需要在该函数的两边对 $x$ 求导，同时将 $y$ 看作中间变量，用复合函数的求导公式完成对 $y$ 中包含的 $x$ 的求导，过程如下：
$F’_{x}$ $+$ $F’_{y}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$

$F(x, y)$ $=$ $0$

说明：
所谓隐函数就是不能将自变量 $x$ 和因变量 $y$ 拆分开放在等号两边的函数，这类函数一般写成 $F(x, y)$ $=$ $0$ 的形式.

例如，$e^{x}$ $-$ $xy$ $-$ $1$ $=$ $0$ 就是一个隐函数，其函数图像如下图所示：

将原函数中的自变量 $x$ 和因变量 $y$ 调换位置后，所得到的函数就是反函数，例如，函数 $y$ $=$ $x^{3}$ 的反函数是 $x$ $=$ $y^{3}$. 如果将反函数 $x$ $=$ $y^{3}$ 写成通常的形式，就是：$y$ $=$ $x^{\frac{1}{3}}$.

示例图：
红色曲线表示函数 $y$ $=$ $x^{3}$, 绿色曲线表示其反函数 $x$ $=$ $y^{3}$:

$\phi'(y)$ $=$ $\frac{\rm{d} x}{\rm{d} y}$ $=$ $\frac{1}{\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}}$ $=$ $\frac{1}{f'(x)}$

$y’$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} u}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} u}{\rm{d} x}$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$

函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微

$(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)}b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n – 1)}b’$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n – 2)} {b}^{”}$ $+$ $\cdots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n – k)}b^{(k)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)}b^{(n)}$

组合的计算示例：
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$

此外：$C_{n}^{0}$ $=$ $C_{n}^{n}$ $=$ $1$
$a^{(0)}$ $=$ $a$
$b^{(0)}$ $=$ $b$

$(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$

$(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$

$(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{x \ln a}$

$(e^{x})’$ $=$ $e^{x}$

$(a^{x})’$ $=$ $a^{x} \ln a$