高等数学基础归档 - 第38页共50页

参数方程求二阶导的方法（B003）

问题

设有参数方程 $\begin{cases} & x = a(t), \\ & y = b(t) \end{cases}$, 该参数方程所确定的函数为 $y$ $=$ $y(x)$, 其中 $a'(t)$ 和 $b'(t)$ 以及 $a”(t)$ 和 $b”(t)$ 均存在，且 $a'(t)$ $\neq$ $0$, 则该参数方程的二阶导数 $y”$ $=$ $?$

选项

[A]. $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a'(t)}$

[B]. $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{2}(t)}$

[C]. $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}$

[D]. $\frac{b”(t) a'(t) + b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}$

答案

$y”$ $=$ $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ $\cdot$ $(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $(\frac{b'(t)}{a'(t)})$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{2}(t)}$ $\cdot$ $\frac{1}{a'(t)}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$

$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}.$

参数方程求一阶导的方法（B003）

问题

设有参数方程 $\begin{cases} & x = a(t), \\ & y = b(t) \end{cases}$, 该参数方程所确定的函数为 $y$ $=$ $y(x)$, 其中 $a'(t)$ 和 $b'(t)$ 均存在，且 $a'(t)$ $\neq$ $0$, 则 $y’$ $=$ $?$

选项

[A]. $\frac{b(t)}{a'(t)}$

[B]. $\frac{a'(t)}{b(t)}$

[C]. $\frac{a'(t)}{b'(t)}$

[D]. $\frac{b'(t)}{a'(t)}$

答案

$y’$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}$ $=$ $\frac{b'(t)}{a'(t)}$

二元隐函数的一阶导函数求导法则（B003）

问题

设 $F(x,y)$ $=$ $0$ 是一个可导的二元隐函数，则其导函数 $y’$ $=$ $?$

选项

[A]. $\frac{- F’_{y}}{F’_{x}}$

[B]. $\frac{F’_{x}}{F’_{y}}$

[C]. $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$

[D]. $\frac{F’_{y}}{F’_{x}}$

答案

$y’$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$

解释：
要对隐函数 $F(x,y)$ $=$ $0$ 求导，只需要在该函数的两边对 $x$ 求导，同时将 $y$ 看作中间变量，用复合函数的求导公式完成对 $y$ 中包含的 $x$ 的求导，过程如下：
$F’_{x}$ $+$ $F’_{y}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$

什么是隐函数？（B003）

问题

根据隐函数的特征，以下哪个选项所表示的函数是隐函数？

选项

[A]. $y$ $=$ $f(x)$

[B]. $F(x, y)$ $=$ $0$

[C]. $y$ $=$ $0$

[D]. $x$ $=$ $f(y)$

答案

$F(x, y)$ $=$ $0$

说明：
所谓隐函数就是不能将自变量 $x$ 和因变量 $y$ 拆分开放在等号两边的函数，这类函数一般写成 $F(x, y)$ $=$ $0$ 的形式.

例如，$e^{x}$ $-$ $xy$ $-$ $1$ $=$ $0$ 就是一个隐函数，其函数图像如下图所示：
什么是隐函数|高等数学|荒原之梦

什么是反函数？（B003）

问题

下面关于【什么是反函数】的描述中，正确的是哪个选项？

选项

[A]. 对原函数取负倒数，得到的就是反函数

[B]. 对原函数取倒数，所得到的就是反函数

[C]. 对原函数取负数，所得到的就是反函数

[D]. 将原函数中的 $x$ 换成 $y$, 将原函数中的 $y$ 换成 $x$ 所得到的就是反函数

答案

将原函数中的自变量 $x$ 和因变量 $y$ 调换位置后，所得到的函数就是反函数，例如，函数 $y$ $=$ $x^{3}$ 的反函数是 $x$ $=$ $y^{3}$. 如果将反函数 $x$ $=$ $y^{3}$ 写成通常的形式，就是：$y$ $=$ $x^{\frac{1}{3}}$.

示例图：
红色曲线表示函数 $y$ $=$ $x^{3}$, 绿色曲线表示其反函数 $x$ $=$ $y^{3}$:

反函数的求导法则（B003）

问题

设 $x$ $=$ $\phi(y)$ 是函数 $y$ $=$ $f(x)$ 的反函数，则 $\phi'(y)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\phi'(y)$ $=$ $\frac{1}{f'(x)}$

[B]. $\phi'(y)$ $=$ $- f'(x)$

[C]. $\phi'(y)$ $=$ $f'(x)$

[D]. $\phi'(y)$ $=$ $\frac{-1}{f'(x)}$

答案

$\phi'(y)$ $=$ $\frac{\rm{d} x}{\rm{d} y}$ $=$ $\frac{1}{\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}}$ $=$ $\frac{1}{f'(x)}$

复合函数的求导法则（B003）

问题

设函数 $f(u)$ 和 $\phi(x)$ 均可导，若 $y$ $=$ $f(u)$, $u$ $=$ $\phi(x)$, 则根据【复合函数求导法则】，复合函数 $y$ $=$ $f[\phi(x)]$ 的导数 $y’$ $=$ $?$

选项

[A]. $y’$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} u}{\rm{d} x}$

[B]. $y’$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} u}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} u}{\rm{d} x}$

[C]. $y’$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} u}$

[D]. $y’$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} x}{\rm{d} u}$

答案

$y’$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} u}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} u}{\rm{d} x}$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$

补充：

复合函数求导法则，也称为复合函数求导的链式法则.

可微的充要条件（B003）

问题

以下哪个选项是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微的【充要】条件？

选项

[A]. $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处没有间断点

[B]. $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有函数值

[C]. $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续

[D]. $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导

答案

函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微

莱布尼兹公式是什么？（B003）

问题

若函数 $a(x)$ 和 $b(x)$ 均 $n$ 阶可导，则以下关于函数 $a(x) \cdot b(x)$ 的 $n$ 阶导【$(ab)^{(n)}$】，正确的是哪个选项？
（Tips：莱布尼兹公式是两个函数乘积的求导法则, 可用于计算两个函数乘积的高阶导数.）

选项

[A]. $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$

[B]. $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$

[C]. $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n + i))} b^{(i)}$

[D]. $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $A_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$

答案

$(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)}b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n – 1)}b’$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n – 2)} {b}^{”}$ $+$ $\cdots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n – k)}b^{(k)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)}b^{(n)}$

组合的计算示例：
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$