一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d} \left[\int f(x) \mathrm{~d} x \right]$ $=$ $?$
»A« $f(x)$.
»B« $f(x) \mathrm{~d} x$.
»C« $f^{\prime}(x) \mathrm{~d} x$.
»D« $f(x) \mathrm{~d} x + C$.
微分中的一个定理：$ds=1$
一、题目
分类： 考研数学
有 $N$ 个零点的函数，一定至少有 $N-1$ 个驻点吗？
一、前言 
根据罗尔定理可知，如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b}]$ 上连续；在开区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b})$, 则至少有一个点 $\textcolor{#FFD966}{\xi} \in (\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$, 使得 $f^{\prime}(\textcolor{#FFD966}{\xi}) = 0$, 也就是说，$\textcolor{#FFD966}{\xi}$ 就是函数 $f(x)$ 的一个驻点。
那么，如果，$f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b}) = 0$, 也就是函数 $f(x)$ 与坐标轴的 $X$ 轴存在两个交点 $\textcolor{#3C78D8}{a}$ 和 $\textcolor{#3C78D8}{b}$ 的时候，是否就意味着在区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 上一定会存在至少一个函数 $f(x)$ 的驻点呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入图解这一问题。
继续阅读“有 $N$ 个零点的函数，一定至少有 $N-1$ 个驻点吗？”极值点是一个点吗？
一、前言
在高等数学的学习和做题中，我们常常能看到，在表述极值点的时候，只是用了横坐标，那么，极 值 点 究竟是一个“ 点 ”吗？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们解开疑惑。
继续阅读“极值点是一个点吗？”驻点不是一个点吗？
一、前言
关于“ 驻 点 ”到底是不是一个“ 点 ”，同学们在不同的学习资料中可能看到不同的结论。在本文中，「荒原之梦考研数学」将剖析造成这种“争议”的根本原因，消除同学们在理解“驻点”这一概念时的障碍。
继续阅读“驻点不是一个点吗？”与原函数和一阶导函数相关的五个“点”之间的关系图：尖点、驻点、极值点、端点、最值点
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一张关系图，为同学们讲解清楚与原函数和其一阶导函数相关的尖点、驻点、极值点、闭区间端点和最值点这 5 个“点”之间的包含和层次关系。
继续阅读“与原函数和一阶导函数相关的五个“点”之间的关系图：尖点、驻点、极值点、端点、最值点”2019年考研数二第20题解析：二元函数偏导数、一阶偏导数、二阶偏导数
一、题目
已知函数 $u(x, y)$ 满足 $2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ $-$ $2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ $+$ $3 \frac{\partial u}{\partial x}$ $+$ $3 \frac{\partial u}{\partial y}$ $=$ $0$, 求 $a$, $b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)$ $=$ $v(x, y) \mathrm{e}^{ax + by}$ 下，上述等式可化为 $v(x, y)$ 不含一阶偏导数的等式.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第20题解析：二元函数偏导数、一阶偏导数、二阶偏导数”2019年考研数二第19题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列
一、题目
设 $n$ 为正整数，记 $S_{n}$ 为曲线 $y = \mathrm{e}^{-x} \sin x$ $\left( 0 \leqslant x \leqslant n \pi \right)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积，求 $S_{n}$, 并求 $\lim_{n \rightarrow \infty } S_{n}$.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第19题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列”快速求导的策略：幂指数相同时先合并幂指数
一、前言
下面的函数怎么做求导操作，计算速度更快一些：
$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{3} \\ \\
y_{2} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{6}
\end{aligned}
$$
周期函数的兄弟：波纹函数
一、前言
我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：
$$
f(x + T) = f(x)
$$
其中，常数 $T \neq 0$ 就是周期函数 $f(x)$ 的最小正周期。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——
由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。
继续阅读“周期函数的兄弟：波纹函数”乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ $=$ $-16$, 则在点 $x = 0$ 处 $f(x)$ ( )
»A« 取得极大值.
»C« 不可导.
»B« 取得极小值.
»D« 可导，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
关于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 是两种核心未定式。
既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。
在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。
继续阅读“关于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性”2019年考研数二第18题解析：利用对称性和极坐标求解二重定积分
一、题目
已知平面区域 $D$ $=$ $\left\{ \left(x, y \right) \ \biggm\vert \ |x| \leqslant y, \ \left( x^{2} + y^{2} \right)^{3} \leqslant y^{4} \right\}$, 计算二重积分 $\iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第18题解析：利用对称性和极坐标求解二重定积分”峰式特例法：所有 $n$ 维向量都可以尝试假定为一维向量
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{\alpha}$ $=$ $1$, 则：
$$
\boldsymbol{A}^{2n} = ?
$$
在极限问题中，不要相信任何一个“等号”
一、题目
$$
I = \lim_{ x \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}} \right] = ?
$$
基于乘除法相对含量的式子复杂度定义
一、前言
不同的数学式子之间相对而言的复杂度肯定是不相同的，但是，我们该如何衡量这里所说的“复杂度”呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」基于乘除法和加减法计算难度的不同，提出了一种衡量式子复杂度的新方式。
继续阅读“基于乘除法相对含量的式子复杂度定义”