为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分？

一、前言

在做一些涉及极限的求和题目时，我们会发现，有些解法就是通过将求和转为积分的方式完成的求解。

相关例题：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)

那么，为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」通过将积分的物理意义从有向的几何量（面积、体积）或者物理意义，更改为“有向权重”的方式，探讨一种更接近积分与求和所蕴含的本质的理解方式，从而理清楚积分与求和之间的关系。

这里的“有向”是指存在“正”和“负”两种值。与传统上对积分有向面积或者有向体积的定义一样，本文中也将位于二维坐标水平轴或者三维坐标水平面上方的“有向权重”定义为“正”，下方的“有向权重”则定义为“负”——当然，“有向”并不是本文讨论的重点，也不是本文所提出的“权重”的必须性质，所以，在本文中接下来阐述“有向权重”的时候，会侧重于讨论“权重”本身。

二、正文

传统上积分的定义

要理解积分与求和的关系，我们首先要理解传统上的积分是怎么定义的。

积分实际上有很多种定义方式，著名的积分定义方式有：

• 黎曼积分（Riemann integral）
• 勒贝格积分（Lebesgue integral）
• 达布积分（Darboux integral）
• 黎曼－斯蒂尔杰斯积分（Riemann-Stieltjes integral）
• 勒贝格－斯蒂尔杰斯积分
• 哈尔积分/哈尔测度（Haar measure）
• 伊藤积分/伊藤微分（Itō calculus）

上面这些积分的核心思想基本上与黎曼积分一致，也就是都将积分归结为某种有向的几何意义或者物理意义。例如，一重积分被定义为有向面积，二重积分被定义为有向体积。

如图 02 所示，根据右黎曼积分，对于函数 $Y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上与坐标轴 $X$ 轴所围成的平面图形的面积，我们可以用均分 $[a, b]$ 区间的多个矩形的面积之和近似表示：

如图 03 所示，如果分割 $[a, b]$ 区间的矩形数增加，那么，这些矩形的面积之和就会更接近函数 $Y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 区间上与坐标轴 $X$ 轴所围成区域的实际面积：

如图 04 所示，如果我们用无数个这样的矩形均分 $[a, b]$ 区间，那么，所得的矩形面积之和就可以认为与函数 $Y = f(x)$ 在 $[a, b]$ 区间上与坐标轴 $X$ 轴所围成区域的实际面积 $S$ 相等：

以上就是传统上对积分的定义，即：

传统上积分的定义所带来的问题

首先，根据传统上对积分的定义来理解一重积分与单重求和之间的关系是比较简单直观的。

例如，根据前面图 03 和图 04 的右黎曼积分示意图，我们可以较容易的得出积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 与矩形面积的求和公式 $\frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)$ 之间存在近似相等关系这一结论：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x \approx \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)
$$

当然，通过将求和中的每个数值都看作一个非常细的曲顶柱体的体积，我们可以将双重求和与二重积分的物理意义（有向体积）联系起来，但此时由于已经涉及三维空间，所以，理解起来就开始有难度了；

接着，如果我们要用物理意义描述三重积分，由于我们无法感知到四维空间，所以只能将三重积分的物理意义定义为三维空间中物体的质量，在此基础上描述三重积分与三重求和之间的关系则更具挑战性；

因此，如果我们要通过物理意义将 $N$ 重积分与 $N$ 重求和联系起来，就会变得非常棘手（$N > 3$）。

以上就是基于传统积分的定义所对应的几何或物理意义来理解积分与求和之间关系所存在的问题。

峰式有向权重定义积分的优势

既然基于物理意义来理解积分与求和之间的关系存在上述问题，那么，我们可以完全摒弃积分的物理意义，转而将其抽象为“有向权重”。

首先，积分本质上就是由函数值 $f(x_{i})$ 和微分 $\Delta x$ 相乘并累加的过程，即：

$$
\begin{aligned}
& \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & f(x_{1}) \cdot \Delta x + f(x_{2}) \cdot \Delta x + \cdots + f(x_{n}) \cdot \Delta x
\end{aligned}
$$

其中，$\Delta x$ $=$ $\frac{b-a}{n}$.

所以，我们可以将每一个 $f(x_{i}) \cdot \Delta x$ 都看作一个权重 $W(x_{i})$, 即：

$$
W(x_{i}) = f(x_{i}) \cdot \Delta x
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & f(x_{1}) \cdot \Delta x + f(x_{2}) \cdot \Delta x + \cdots + \textcolor{orange}{ f(x_{n}) \cdot \Delta x } \\ \\
= \ & W(x_{1}) + W(x_{2}) + \cdots + \textcolor{orange}{ W(x_{n}) }
\end{aligned}
$$

例如，对于一重积分，我们就可以将前面图 03 所表示的矩形的面积表示成没有任何物理意义的权重：

当然，与传统积分的定义类似，我们在区间 $[a, b]$ 上计算的权重数量越多，则求和所得的结果就越接近函数 $Y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上与坐标轴 $X$ 轴之间所围成区域的面积 $S$ 的真实值：

类推可知，对于二重积分，用权重表示就是：

$$
\begin{aligned}
& \iint_{D} f(x, y) \mathrm{~d} \sigma \\ \\
= \ & f(x_{1}, y_{1}) \cdot \Delta \sigma + f(x_{2}, y_{2}) \cdot \Delta \sigma + \cdots + \textcolor{orange}{ f(x_{n}, y_{n}) \cdot \Delta \sigma } \\ \\
= \ & W(x_{1}, y_{1}) + W(x_{2}, y_{2}) + \cdots + \textcolor{orange}{ W(x_{n}, y_{n}) }
\end{aligned}
$$

对于三重积分，用权重表示就是：

$$
\begin{aligned}
& \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{~d} v \\ \\
= \ & f(x_{1}, y_{1}, z_{1}) \cdot \Delta v + f(x_{2}, y_{2}, z_{2}) \cdot \Delta v + \cdots + \textcolor{orange}{ f(x_{n}, y_{n}, z_{n}) \cdot \Delta v } \\ \\
= \ & W(x_{1}, y_{1}, z_{1}) + W(x_{2}, y_{2}, z_{2}) + \cdots + \textcolor{orange}{ W(x_{n}, y_{n}, z_{n}) }
\end{aligned}
$$

那么，为什么将积分的物理意义封装进权重之后，就能够简化我们对积分与求和之间关系的理解呢？

根据《用地铁线路理解单重求和与双重求和的计算》这篇文章可知，一旦我们将积分的物理意义抽象为权重，并且用位于末端树杈上的“叶子节点”表示一个完整的权重，那么，积分与求和的意义就被统一为了“多层树”上叶子节点所对应数值的相加（此处仍然基于前面的论述：积分的本质就是求和）。

对于一重积分而言，由于仅针对 $x$ 这一个变量进行积分，因此，对应的“多层树”实际上只有一层，我们可以认为这棵树的叶子（也就是“权重”）是直接生长在主干上的，如图 12 所示：

对于二重积分而言，由于需要依次对 $x$ 和 $y$ 这两个变量进行积分，因此，对应的“多层树”有两层，我们需要将权重（叶子）$W_{11}$ 到 $W_{mn}$ 相加，如图 13 所示：

对于三重积分而言，由于需要针对 $x$, $y$ 和 $z$ 这三个变量进行积分，因此，对应的“多层树”有三层，我们需要将权重（叶子）$W_{111}$ 到 $W_{mnu}$ 相加，如图 14 所示：

由此可见，而用权重法研究积分与求和两者之间的关系，就相当于将原本需要考虑的 $N$ 维空间，直接“拍扁”，变成了二维平面上的“N 层树”，从而直观地降低了理解的难度。

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