标签： 线性代数基础

一、什么是等价向量组

在线性代数里，两个向量组等价，本质上是说，这两个向量组能互相线性表示——当然，这两个向量组必须要么都是行向量，要么都是列向量.

继续阅读“等价向量组及其性质”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对线性代数中的四种“对角化”给出全面的对比讲解：

• 相似对角化
• 合同对角化
• 正交对角化
• 一般对角化

二、正文

§2.1 相似对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为相似矩阵.

性质

1. 对于 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$, 当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量时，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 才可以相似对角化；
2. 在实数数域内，如果 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个互不相等的特征值（此时，特征值不能为虚数）的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 一定可以相似对角化；
3. 在实数数域内，可以相似对角化的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不一定必须有 $n$ 个不相等的实特征值，例如，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 只有一个特征值 $1$, 但是，很显然，单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 可以相似对角化：$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{E} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{E} = \boldsymbol{\Lambda}$.
4. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹不发生变化；
5. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不发生变化；
6. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不发生变化；
7. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的相似对角化过程 能 保证矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量不发生变化；

§2.2 合同对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以合同对角化，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{\Lambda}$ 互为合同矩阵.

性质

1. 当 $\boldsymbol{A}$ 是一个关于主对角线对称的实对称矩阵的时候（即 $\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{A}$）一定可以合同对角化，因为实对称矩阵一定可以正交对角化；
2. 合同对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
3. 合同对角化一般 能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不变；
4. 合同对角化一般用于二次型的化简.

§2.3 正交对角化

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于一个方阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是对角矩阵，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以正交对角化，或者说，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ 正交相似.

性质

根据《相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系》可知，正交对角化可以看作是相似对角化与合同对角化共同的特殊情况，因此，正交对角化同时具有相似对角化与合同对角化的部分性质（不是全部性质）：

1. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行正交对角化，能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
2. 实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既可以相似对角化，也可以合同对角化，还可以正交对角化，因为，存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{Q}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}$；
3. 能正交对角化的矩阵一定是实对称矩阵.

§2.4 一般对角化（等价对角化）

定义

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 一般的对角化就是存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得下式成立：

$$
\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{\Lambda}
$$

其中，$\boldsymbol{\Lambda}$ 为关于主对角线对称的对角矩阵.

性质

1. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值不变；
2. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量不变；
3. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 不能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹不变；
4. 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行的一般的对角化一般 能 保持矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩不变；
5. 前面提到的相似对角化、合同对角化、正交对角化都是一般的对角化的特殊情况.

三、补充

[1]. 《“只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别》

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对矩阵的相似变换、合同变换和正交变换之间的关系做一个详细的讲解.

继续阅读“相似变换、合同变换和正交变换三者之间的包含关系”

一、题目

难度评级：

继续阅读“峰式 | 用数字和排列组合探究逆矩阵乘法运算的特性”

在下面的式子中，列向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}^{\top}$ 和行向量 $\begin{pmatrix} \text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土} \end{pmatrix}$ 相乘（外积）所得的 $5 \times 5$ 的矩阵中，每一个元素都是一个真实存在的汉字：

$$
\begin{pmatrix}
\text{金} \\
\text{木} \\
\text{水} \\
\text{火} \\
\text{土}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\text{金} & \text{木} & \text{水} & \text{火} & \text{土}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\text{鍂} & \text{鈢} & \text{淦} & \text{鈥} & \text{釷} \\
\text{鈢} & \text{林} & \text{沐} & \text{炑} & \text{杜} \\
\text{淦} & \text{沐} & \text{沝} & \text{淡} & \text{汢} \\
\text{鈥} & \text{炑} & \text{淡} & \text{炎} & \text{灶} \\
\text{釷} & \text{杜} & \text{汢} & \text{灶} & \text{圭} \\
\end{pmatrix}
$$

当然，基于天干地支纪年法，也可以表示向量乘法运算（外积）：

$$
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲}} \\
\tiny{\text{乙}} \\
\tiny{\text{丙}} \\
\tiny{\text{丁}} \\
\tiny{\text{戊}} \\
\tiny{\text{己}} \\
\tiny{\text{庚}} \\
\tiny{\text{辛}} \\
\tiny{\text{壬}} \\
\tiny{\text{癸}}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
\tiny{\text{子}} & \tiny{\text{丑}} & \tiny{\text{寅}} & \tiny{\text{卯}} & \tiny{\text{辰}} & \tiny{\text{巳}} & \tiny{\text{午}} & \tiny{\text{未}} & \tiny{\text{申}} & \tiny{\text{酉}} & \tiny{\text{戌}} & \tiny{\text{亥}}
\end{pmatrix} \\
= & \begin{pmatrix}
\tiny{\text{甲子}} & & \tiny{\text{甲寅}} & & \tiny{\text{甲辰}} & & \tiny{\text{甲午}} & & \tiny{\text{甲申}} & & \tiny{\text{甲戌}} & \\
& \tiny{\text{乙丑}} & & \tiny{\text{乙卯}} & & \tiny{\text{乙巳}} & & \tiny{\text{乙未}} & & \tiny{\text{乙酉}} & & \tiny{\text{乙亥}} \\
\tiny{\text{丙子}} & & \tiny{\text{丙寅}} & & \tiny{\text{丙辰}} & & \tiny{\text{丙午}} & & \tiny{\text{丙申}} & & \tiny{\text{丙戌}} & \\
& \tiny{\text{丁丑}} & & \tiny{\text{丁卯}} & & \tiny{\text{丁巳}} & & \tiny{\text{丁未}} & & \tiny{\text{丁酉}} & & \tiny{\text{丁亥}} \\
\tiny{\text{戊子}} & & \tiny{\text{戊寅}} & & \tiny{\text{戊辰}} & & \tiny{\text{戊午}} & & \tiny{\text{戊申}} & & \tiny{\text{戊戌}} & \\
& \tiny{\text{己丑}} & & \tiny{\text{己卯}} & & \tiny{\text{己巳}} & & \tiny{\text{己未}} & & \tiny{\text{己酉}} & & \tiny{\text{己亥}} \\
\tiny{\text{庚子}} & & \tiny{\text{庚寅}} & & \tiny{\text{庚辰}} & & \tiny{\text{庚午}} & & \tiny{\text{庚申}} & & \tiny{\text{庚戌}} & \\
& \tiny{\text{辛丑}} & & \tiny{\text{辛卯}} & & \tiny{\text{辛巳}} & & \tiny{\text{辛未}} & & \tiny{\text{辛酉}} & & \tiny{\text{辛亥}} \\
\tiny{\text{壬子}} & & \tiny{\text{壬寅}} & & \tiny{\text{壬辰}} & & \tiny{\text{壬午}} & & \tiny{\text{壬申}} & & \tiny{\text{壬戌}} & \\
& \tiny{\text{癸丑}} & & \tiny{\text{癸卯}} & & \tiny{\text{癸巳}} & & \tiny{\text{癸未}} & & \tiny{\text{癸酉}} & & \tiny{\text{癸亥}}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

注意：按照严格的干支纪年法，只有阴阳才能相配，一共有 60 个组合，即“六十甲子”. 因此，在上面的向量乘法运算中，用空位表示不属于六十甲子的组合.

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什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

根据矩阵乘法运算的左行右列性质，一个上（下）三角矩阵左乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的行都乘以对角矩阵对角线上对应的元素；一个上（下）三角矩阵右乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的列都乘以对角矩阵对角线上对应的元素.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形化性质对上面的这一结论做一个形象化的说明.

继续阅读“峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过峰图所表现出的“拓印”过程，形象地揭示矩阵初等变换过程中一些有趣也有意义的现象.

继续阅读“峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形性质，形象化地证明下面的定理：

1. 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角矩阵；
2. 下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵.

继续阅读“峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵的逆矩阵一定是上（下）三角矩阵？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原理分析和实际的例子，说明矩阵的初等行变换或者初等列变换可以表现出“方向性”，特别是“单向性”.

继续阅读“任何矩阵初等变换的集合都可以表现出“方向性””

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过线性方程组的视角证明下面的两个定理：

1. 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角矩阵；
2. 下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵.

继续阅读“基于线性方程组证明：上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角矩阵；下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵”

一、前言

通过 2021 年的考研数二真题第 09 题，我们可以知道，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量如果可以被矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解就一定包含齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.

在上面这道题目中，「荒原之梦考研数学」给出了五种不同的解法，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过峰式图的方式，给出针对该题目第五种解法的图形化理解.

继续阅读“峰图 | 基于“砖块砌墙理论”理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对什么是二次型、二次型的本质、二次型与实对称矩阵之间的关系、常用的化二次型为标准型的方法等，做一个全面且深度的解析，帮助同学们更加深入地理解考研线性代数中的二次型.

继续阅读“二次型全面深度解析”

一、前言

二次型的可逆线性换元（变量替换）本质上就是求原矩阵的合同矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过定义来说明为什么是这样的.

继续阅读“二次型的可逆线性换元（变量替换）与矩阵的合同”

一、前言

对于方阵而言，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对应相等，这个矩阵就被称为“对称矩阵”，如果一个矩阵的元素关于主对角线对称位置对称正负相反，这个矩阵就被称为“斜对称矩阵”.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就基于转置矩阵的性质，为同学们讲解清楚：为什么任意一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和？

Tip

斜对称矩阵并不是关于矩阵副对角线对称的矩阵.

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继续阅读“为什么任意一个矩阵都可以写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和？”