一、题目
已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E}$ $=$ $0$, 其中 $c \neq 0$.
请证明：矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求解 $\boldsymbol{A}^{-1}$.
二、解析 
由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E}$ $=$ $0$，所以：
$$
\begin{aligned}
& a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \boldsymbol{A} (a \boldsymbol{A} + b \boldsymbol{E}) = -c \boldsymbol{E} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{gray}{c \neq 0} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{gray}{ \text{等式两端同乘 } \frac{-1}{c}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \boldsymbol{A} \left(\frac{-a}{c} \boldsymbol{A} + \frac{-b}{c} \boldsymbol{E} \right) = \boldsymbol{E} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{gray}{\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{E}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{-a}{c} \boldsymbol{A} + \frac{-b}{c} \boldsymbol{E} }
\end{aligned}
$$
综上可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，且 $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{-a}{c} \boldsymbol{A} + \frac{-b}{c} \boldsymbol{E}$.
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通过上面的计算可知，如果我们将 “$\boldsymbol{A}$” 看作 “$x$”, 那么，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足的等式 $a \boldsymbol{A}^{2} + b \boldsymbol{A} + c \boldsymbol{E}$ $=$ $0$ 其实就是一个一元二次方程 $a x^{2} + bx + c$ $=$ $0$.
我们可以将上面这样的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 称为满足一元二次方程形式的矩阵。
因此，对于此类矩阵，我们可以直接利用对应的公式求解出其逆矩阵，即：$\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\frac{-a}{c} \boldsymbol{A} + \frac{-b}{c} \boldsymbol{E}$.
例如，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足等式 $2 \boldsymbol{A}^{2} + 3 \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}$ $=$ $0$, 则我们可以直接计算出，其逆矩阵为：$\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $-2 \boldsymbol{A} – 3 \boldsymbol{E}$.
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