考研数学 – 第 130 页

利用定积分计算函数平均值（B007）

问题

根据定积分的性质，以下哪个选项是函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Orange}{[a, b]}$ 上的平均值？

选项

[A]. $\frac{1}{a – b}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\frac{1}{b + a}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\frac{1}{b – a}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $(b – a)$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值：
$$\textcolor{Red}{\frac{1}{b – a}} \textcolor{Green}{\times} \int_{a}^{b} \textcolor{Red}{f(x)} \mathrm{d} x.$$

广义的定积分中值定理（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积且恒正或恒负，则一定存在 $\textcolor{Orange}{\xi}$ $\textcolor{Orange}{\in}$ $\textcolor{Orange}{[a, b]}$, 使得关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $g(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\xi$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $f(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $g(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{a}^{b} \textcolor{Green}{\Bigg [} \textcolor{Red}{f(x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Yellow}{g(x)} \textcolor{Green}{\Bigg ]} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{f(\xi)} \textcolor{Green}{\times} \int_{a}^{b} \textcolor{Yellow}{g(x)} \mathrm{d} x.$$ 其中，$g(x)$ $\geqslant$ $0$ 或者 $g(x)$ $\leqslant$ $0$.

定积分的中值定理（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则一定存在 $\xi$ 使得关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(a+b)$ $f(\xi)$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(a-b)$ $f(\xi)$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(b-a)$ $f(\xi)$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- (b-a)$ $f(\xi)$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$(\textcolor{Red}{b} \textcolor{Green}{-} \textcolor{Red}{a}) \textcolor{Orange}{f(\xi)}$$

定积分的估值定理（B007）

问题

若 $\textcolor{Orange}{m}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{M}$, $x$ $\in$ $[a, b]$, 其中 $m$ 和 $M$ 均为常数，则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $m(b-a)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $M(b-a)$

[B]. $M(a-b)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $m(b-a)$

[C]. $m(b-a)$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $M(b-a)$

[D]. $m(b-a)$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $M(b-a)$

答案

$$\textcolor{Red}{m \times (b-a)}$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\textcolor{Red}{M \times (b-a)}$$

定积分比较定理的第二个推论（B007）

问题

以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\Big|}$ $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{Orange}{\Big|}$ 的结论，正确的是哪个？

选项

[A]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[B]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[C]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[D]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\textcolor{Red}{\Bigg|} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\Bigg|}$$ $$\textcolor{Orange}{\leqslant}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{|} \textcolor{Green}{f(x)} \textcolor{Red}{|} \mathrm{d} x$$

说明：
对于定积分而言，当 $f(x)$ $>$ $0$ 时，会使定积分的值变大，反之，当 $f(x)$ $<$ $0$ 时，会使定积分的值变小.
由于对定积分整体取绝对值并不能保证 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 而对函数 $f(x)$ 本身取绝对值则可以保证 $|f(x)|$ $\geqslant$ $0$, 于是有如上结论.

定积分比较定理的第一个推论（B007）

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\geqslant}$ $\textcolor{Red}{0}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $0$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $0$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $0$

答案

$$\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0} \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{0} \mathrm{d} x \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$

同理可知：
若 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{0}$, 则：$$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\leqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$

定积分的比较定理（B007）

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $f(x)$ $\leqslant$ $g(x)$, 则根据定积分的比较定理，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 与 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 是什么关系？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Red}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$ 定积分的比较定理：

在积分区间一样的情况下，不同定积分的相对大小取决于不同被积函数的相对大小.

定积分积分区间的可加性（B007）

问题

若常数 $\textcolor{Orange}{c}$ 是定积分的积分区间 $\textcolor{Orange}{[a, b]}$ 内部或者外部的一个常数，则定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Green}{c}} f(x) \mathrm{d} x + \int_{\textcolor{Green}{c}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$注意：常数 $c$ 不一定要在积分区间 $[a, b]$ 内部，常数 $c$ 也可以在积分区间 $[a, b]$ 外部.

含有常数 $k$ 的定积分的运算性质（B007）

问题

根据定积分的基本性质，若 $k$ 为常数，则 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Red}{k}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{k} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{k} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的减法运算法则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{-}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{-} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{-} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的加法运算法则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{White}{+}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{+} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{+} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x.$$

定积分的被积函数为 $1$ 怎么计算？（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Red}{1}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\textcolor{White}{?}$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $b$ $+$ $a$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $b$ $-$ $a$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $a$ $+$ $b$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $a$ $-$ $b$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Red}{1} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Green}{b – a}.$$

调换定积分的上下限对定积分的影响（B007）

问题

根据定积分的基本性质，若调换定积分 $\textcolor{Orange}{\int}_{\textcolor{White}{a}}^{\textcolor{White}{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的下限 $\textcolor{White}{a}$ 和上限 $\textcolor{White}{b}$, 则以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(-x)$ $\mathrm{d} (-x)$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Orange}{-} \int_{\textcolor{Red}{b}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x$$

定积分与积分变量无关的原则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，下列选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} t$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{x} =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{t}$$由于定积分本质上是一个值，因此，定积分与积分变量的选取无关.