定积分的特殊分部积分公式（B007）

问题

若函数 $u(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续且具有导函数 $u^{\prime }(x)$, 则以下关于定积分 ${\int }_a^b$ $u(x)$ $\mathrm{d}x$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A].   ${\int }_a^b$ $u(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $x$ $u(x)$ ${|}_a^b$ $+$ ${\int }_a^b$ $x$ $u^{\prime }(x)$ $\mathrm{d}x$

[B].   ${\int }_a^b$ $u(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $x$ $u(x)$ ${|}_a^b$ $-$ ${\int }_a^b$ $x$ $u(x)$ $\mathrm{d}x$

[C].   ${\int }_a^b$ $u(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $x$ $u(x)$ ${|}_a^b$ $-$ ${\int }_a^b$ $x$ $u^{\prime }(x)$ $\mathrm{d}x$

[D].   ${\int }_a^b$ $u(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $x$ $u(x)$ ${|}_a^b$ $+$ ${\int }_a^b$ $x^{\prime }$ $u(x)$ $\mathrm{d}x$

   答 案   

$${\int }_a^{b}u(x)\mathrm{d}x=$$ $${\int }_a^{b}u(x)\cdot x^{\prime }\mathrm{d}x=$$ $$x\cdot u(x){|}_a^b$$ $$-$$ $${\int }_a^{b}x\cdot u^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$