反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法

一、题目分析

直接来看，这是一个上限趋于无穷的的反常积分，但其实，由于被积函数中的 $\sqrt{x}$ 必须有 $x$ $>$ $0$ , 因此，该反常积分的下限也需要通过取极限的方式才能在计算中使用：

我们可以引入两个变量 $s$ 和 $t$ , 并使 $s$ $\to$ $0^{+}$ , $t$ $\to$ $\infty$ , 以此来代替该反常积分原来的上限和下限。

同时，由于 $1$ 具有 $1^{2}$ $=$ $1$ 等特殊性质，因此，我们将 $1$ 作为分割区间 $[0, \infty]$ 的一个中间点。

根据上面的分析，有：

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x) \cdot \sqrt{x}} d x =$

$lim_{s \to 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{1}{(1 + x) \cdot \sqrt{x}} d x +$

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(1 + x) \cdot \sqrt{x}} d x .$

令 $a$ $=$ $\sqrt{x}$ , 则 $x$ $=$ $a^{2}$ , 于是有：

$lim_{s \to 0^{+}} \int_{s^{2}}^{1^{2}} \frac{1}{(1 + a^{2}) \cdot a} d (a^{2}) +$

$lim_{t \to \infty} \int_{1^{2}}^{t^{2}} \frac{1}{(1 + a^{2}) \cdot a} d (a^{2}) \Rightarrow$

${\begin{cases} s \to 0^{+} \Rightarrow s^{2} = s; \\ t \to \infty \Rightarrow t^{2} = t . \end{cases} \Rightarrow$

$lim_{s \to 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{1}{(1 + a^{2}) \cdot a} d (a^{2}) +$

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(1 + a^{2}) \cdot a} d (a^{2}) =$

$lim_{s \to 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{2 a}{(1 + a^{2}) \cdot a} d a +$

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{2 a}{(1 + a^{2}) \cdot a} d a =$

$2 lim_{s \to 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{1}{(1 + a^{2})} d a +$

$2 lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(1 + a^{2})} d a =$

$2 lim_{s \to 0^{+}} \arctan a |_{s}^{1} +$

$2 lim_{t \to \infty} \arctan a |_{1}^{t} =$

$2 (\frac{π}{4} - \arctan s) +$

$2 (\arctan \infty - \frac{π}{4}) =$

$2 (\arctan \infty - \arctan 0) =$

$2 \cdot \frac{π}{2} =$

$π .$