一、题目分析
直接来看，这是一个上限趋于无穷的的反常积分，但其实，由于被积函数中的 $\sqrt{x}$ 必须有 $x$ $>$ $0$, 因此，该反常积分的下限也需要通过取极限的方式才能在计算中使用：
我们可以引入两个变量 $s$ 和 $t$, 并使 $s$ $\rightarrow$ $0^{+}$, $t$ $\rightarrow$ $\infty$, 以此来代替该反常积分原来的上限和下限。
同时，由于 $1$ 具有 $1^{2}$ $=$ $1$ 等特殊性质，因此，我们将 $1$ 作为分割区间 $[0, \infty]$ 的一个中间点。
二、计算过程
根据上面的分析，有：
$$
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+x) \cdot \sqrt{x}} \mathrm{d} x =
$$
$$
\lim_{s \rightarrow 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{1}{(1+x) \cdot \sqrt{x}} \mathrm{d} x +
$$
$$
\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(1+x) \cdot \sqrt{x}} \mathrm{d} x.
$$
令 $a$ $=$ $\sqrt{x}$, 则 $x$ $=$ $a^{2}$, 于是有：
$$
\lim_{s \rightarrow 0^{+}} \int_{s^{2}}^{1^{2}} \frac{1}{(1+a^{2}) \cdot a} \mathrm{d} (a^{2}) +
$$
$$
\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1^{2}}^{t^{2}} \frac{1}{(1+a^{2}) \cdot a} \mathrm{d} (a^{2}) \Rightarrow
$$
$$
\begin{cases}
& s \rightarrow 0^{+} \Rightarrow s^{2} = s; \\
& t \rightarrow \infty \Rightarrow t^{2} = t.
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
\lim_{s \rightarrow 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{1}{(1+a^{2}) \cdot a} \mathrm{d} (a^{2}) +
$$
$$
\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(1+a^{2}) \cdot a} \mathrm{d} (a^{2}) =
$$
$$
\lim_{s \rightarrow 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{2a}{(1+a^{2}) \cdot a} \mathrm{d} a +
$$
$$
\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{2a}{(1+a^{2}) \cdot a} \mathrm{d} a =
$$
$$
2 \lim_{s \rightarrow 0^{+}} \int_{s}^{1} \frac{1}{(1+a^{2})} \mathrm{d} a +
$$
$$
2 \lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{(1+a^{2})} \mathrm{d} a =
$$
$$
2 \lim_{s \rightarrow 0^{+}} \arctan a \Bigg|_{s}^{1} +
$$
$$
2 \lim_{t \rightarrow \infty} \arctan a \Bigg|_{1}^{t} =
$$
$$
2 (\frac{\pi}{4} – \arctan s) +
$$
$$
2 (\arctan \infty – \frac{\pi}{4}) =
$$
$$
2(\arctan \infty – \arctan 0) =
$$
$$
2 \cdot \frac{\pi}{2} =
$$
$$
\pi.
$$