如何判断定积分中的被积函数是否为偶函数(B007)

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-a, a]$ 上连续,则以下哪个选项可以说明定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{-a}^{a}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的被积函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 为 [偶函数]?

选项

[A].   $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B].   $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C].   $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D].   $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$


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若:$$\int_{\textcolor{Red}{-a}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x = \textcolor{Orange}{2} \int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{a}} f(x) \mathrm{d} x$$则被积函数 $f(x)$ 为偶函数.

注意:积分区间 $[-a, a]$ 是关于原点对称的.


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