问题
若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且函数 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 满足如下两个条件：一、函数 $\phi ^{\prime} (t)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $\phi ^{\prime} (t)$ $\neq$ $0$;
二、函数 $\phi(\alpha)$ $=$ $a$, $\phi(\beta)$ $=$ $b$, 并且，当 $t$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上变化时，$\phi(t)$ 的值在区间 $[a, b]$ 上变化。
则：以下使用函数 $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 对定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 进行换元的选项中，正确的是哪个？
选项
[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$
[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$
[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$
$$\int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{b}} \textcolor{Red}{f}(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \mathrm{d} [\textcolor{Red}{\phi} (\textcolor{Red}{t})] =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{\phi} ^{\textcolor{Orange}{\prime}} (\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} t.$$注意：对定积分的换元，不仅要更换自变量 $x$, 还要对应的更换积分上下限.