定积分的换元法（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且函数 $x$ $=$ $\varphi (t)$ 满足如下两个条件：
一、函数 ${\varphi }^{\prime }(t)$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，且 ${\varphi }^{\prime }(t)$ $\ne$ $0$;
二、函数 $\varphi (\alpha )$ $=$ $a$, $\varphi (\beta )$ $=$ $b$, 并且，当 $t$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上变化时，$\varphi (t)$ 的值在区间 $[a,b]$ 上变化。

则：以下使用函数 $\varphi (t)$ 对定积分 ${\int }_a^b$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ 进行换元的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ ${\int }_{\alpha }^{\beta }$ $f[\varphi (t)]$ ${\varphi }^{\prime }(t)$ $\mathrm{d}t$

[B].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ ${\int }_a^b$ $f[\varphi (t)]$ $\varphi (t)$ $\mathrm{d}t$

[C].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ ${\int }_a^b$ $f[\varphi (t)]$ ${\varphi }^{\prime }(t)$ $\mathrm{d}t$

[D].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ ${\int }_{\alpha }^{\beta }$ $f[\varphi (t)]$ $\varphi (t)$ $\mathrm{d}t$

   答 案   

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=$$ $${\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\mathrm{d}[\varphi (t)]=$$ $${\int }_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$注意：对定积分的换元，不仅要更换自变量 $x$, 还要对应的更换积分上下限.