分类： 考研数学

一、题目

$$\begin{array}{rl}& |\mathit{K}|=\\ \\ & \left|\begin{array}{cccccc}1& -2& 5& 0& 0& 0\\ 3& 8& 1& 0& 0& 0\\ 5& 0& -3& 2& 1& -1\\ 1& 2& 5& 2& 1& -1\\ 7& 3& 5& 9& 2& 0\\ 1& 6& 5& -5& 3& 2\end{array}\right|\\ \\ & =?\end{array}$$

难度评级：

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ x_1^{n–1}& x_2^{n–1}& x_3^{n–1}& \cdots & x_n^{n–1}\end{array}\right|$$

上面这个行列式的计算结果为：

$$D_n=\prod _{1⩽j<i⩽n}\left(x_i–x_j\right)$$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

一、题目

已知，$\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 都是 $n$ 阶方阵，且：

$$\mathit{B}\mathit{A}=\mathit{E}$$

则：

$$\mathit{B}[\mathit{E}+\mathit{A}{(\mathit{E}+2{\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }})}^{-1}\mathit{B}]\mathit{A}=?$$

难度评级：

一、题目

已知矩阵 $\mathit{K}$ $=$ $\mathit{A}\mathit{K}$ $+$ $\mathit{B}$, 且：

$$\begin{array}{rl}\mathit{A}& =\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ –1& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\\ \\ \mathit{B}& =\left[\begin{array}{cc}1& –1\\ 2& 0\\ 3& 1\end{array}\right]\end{array}$$

则 $\mathit{K}$ $=$ $?$

难度评级：

一、题目

$$\left|\begin{array}{c}\mathit{A}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a& 0& b& 0\\ 0& c& 0& d\\ e& 0& f& 0\\ 0& g& 0& h\end{array}\right|=?$$

难度评级：