考研数学 - 第11页共165页

一、题目

已知， $A$ 和 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且：

$(A B)^{2} = E$

则下列结论中，一定正确为（）

① $B A B$ $=$ $A^{- 1}$

② $A B A$ $=$ $B^{- 1}$

③ $(B A)^{2}$ $=$ $E$

④ $A^{2} B^{2}$ $=$ $E$

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一、题目

$\begin{aligned} | K | = \\ | \begin{array}{c} 1 & - 2 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & - 3 & 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & 5 & 2 & 1 & - 1 \\ 7 & 3 & 5 & 9 & 2 & 0 \\ 1 & 6 & 5 & - 5 & 3 & 2 \end{array} | \\ = ? \end{aligned}$

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积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

$\begin{aligned} I & = \\ \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{e^{x + 3} + e^{5 - x}} d x \\ = ? \end{aligned}$

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范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言

我们知道，形如下面这样的行列式，被称之为“范德蒙行列式”：

$D_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} |$

上面这个行列式的计算结果为：

$D_{n} = \prod_{1 ⩽ j < i ⩽ n} (x_{i} - x_{j})$

但是，在大部分的考试中，特别是考研数学中，并不会直接给我们一个标准形式的范德蒙行列式，更多的是会给出一个看上去像是其他形式的行列式，需要我们经过一些转化，才能转变为范德蒙行列式的标准形式，进而使用范德蒙行列式的计算公式。

在本文中，荒原之梦考研数学将给出若干道可以转变为范德蒙行列式计算的“范德蒙变体行列式”，并分析什么情况下可以考虑将一个行列式向范德蒙行列式转换。

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矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵

一、题目

已知， $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶方阵，且：

$B A = E$

则：

$B [E + A {(E + 2 B^{⊤} A^{⊤})}^{- 1} B] A = ?$

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这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?

一、题目

若 $f (x)$ $+$ $\sin^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3 x) d x$ , 则：

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = ?$

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2022考研数二第04题解析：二元偏导数、变上限积分求导

一、题目

设函数 $f (t)$ 连续，令 $F (x, y)$ $=$ $\int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t$ , 则（）

A. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

B. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $- \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

C. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $- \frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

D. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $- \frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $- \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

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2022考研数二第03题解析：邻域内函数单调性与凹凸性的判断

一、题目

设函数 $f (x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处有 $2$ 阶导数，则：

[A]. 当 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时， $f^{'} (x_{0})$ $>$ $0$

[B]. 当 $f^{'} (x_{0})$ $>$ $0$ 时， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加

[C]. 当 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时， $f^{''} (x_{0})$ $>$ $0$

[D]. 当 $f^{''} (x_{0})$ $>$ $0$ , $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数

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矩阵起源于方程组，因此也可以借助方程组的思想解题

一、题目

已知矩阵 $K$ $=$ $A K$ $+$ $B$ , 且：

$\begin{aligned} A & = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}] \\ B & = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{array}] \end{aligned}$

则 $K$ $=$ $?$

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如何确定行列式展开式中有效项的个数？

一、题目

$| \begin{matrix} A \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & c & 0 & d \\ e & 0 & f & 0 \\ 0 & g & 0 & h \end{matrix} | = ?$

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2022考研数二第02题解析：更改积分次序、定积分中的变量替换

一、题目

$\int_{0}^{2} d y \int_{y}^{2} \frac{y}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x = ?$

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

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2022考研数二第01题解析：等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小，反之也成立

一、题目

当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ , $β (x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：

① 若 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ , 则 $α^{2} (x)$ $\sim$ $β^{2} (x)$ ;

② 若 $α^{2} (x)$ $\sim$ $β^{2} (x)$ , 则 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ ;

③ 若 $α (x) \sim β (x)$ , 则 $α (x)$ $-$ $β (x)$ $=$ $o (α (x))$ ;

④ 若 $α (x) - β (x)$ $=$ $o (α (x))$ , 则 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ .

其中所有真命题的序号是（）

(A) ① ③

(B) ① ④

(D) ② ③ ④

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积分一定能改变函数的奇偶性吗？

一、题目

已知 $f (x)$ 是连续函数， $F (x)$ 是 $f (x)$ 的原函数，则以下说法中正确的是哪个？

[A]. 若 $f (x)$ 是偶函数，则 $F (x)$ 必是奇函数

[B]. 若 $f (x)$ 是奇函数，则 $F (x)$ 必是偶函数

[C]. 若 $f (x)$ 是周期函数，则 $F (x)$ 必是周期函数

[D]. 若 $f (x)$ 是单调增函数，则 $F (x)$ 必是单调增函数

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看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性

一、题目

已知 $A^{- 1} = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}]$ , 则：

$\begin{aligned} {(3 A^{*})}^{- 1} & = ? \\ {(2 A)}^{*} & = ? \end{aligned}$

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如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？

一、前言

在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？》这篇文章中，我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义：

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{m} \end{matrix} | = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} {(- 1)}^{τ (j_{1} j_{2} \dots j_{n})} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \dots a_{n}$

这个计算公式是一个标准的计算公式，因为其中表示行列式行数的 “ $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ ” 是顺序排列的，那么，如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的，该怎么确定这个项的正负呢？

在本文中，荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。

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分类：考研数学

矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵

一、题目

行列式中的“消消乐”

一、题目

积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

范德蒙行列式“变体”行列式的计算

一、前言

矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵

一、题目

这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?

一、题目

2022考研数二第04题解析：二元偏导数、变上限积分求导

一、题目

2022考研数二第03题解析：邻域内函数单调性与凹凸性的判断

一、题目

矩阵起源于方程组，因此也可以借助方程组的思想解题

一、题目

如何确定行列式展开式中有效项的个数？

一、题目

2022考研数二第02题解析：更改积分次序、定积分中的变量替换

一、题目

2022考研数二第01题解析：等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小，反之也成立

一、题目

积分一定能改变函数的奇偶性吗？

一、题目

看准题目所给条件，可以降低发生低级错误的可能性

一、题目

如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？

一、前言