一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续,则 “$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗?
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继续阅读“极限存在会有界,但有界不一定存在极限”已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续,则 “$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗?
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继续阅读“极限存在会有界,但有界不一定存在极限”已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内都有定义,且 $x=x_{1}$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_{2}$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点,则:
(A) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$
(B) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$
(C) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$
(D) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$
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继续阅读“乘法对间断点的「弥合」作用强于加法”已知 $f(x)=x \tan \left(\frac{\pi}{6} \mathrm{e}^{\sin x}\right), x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $f(x)$ 是
(A) 偶函数
(B) 无界函数
(C) 周期函数
(D) 单调函数
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继续阅读“这个复杂式子的求导你会吗?”以下运算和结论都正确的有哪些?
(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)}{1}=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$ $=$ $\frac{4}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{5}}=\cdots=\infty$
(2) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复,所以该极限不存在。
(3) 由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型,由洛必达法则, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$
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继续阅读“洛必达法则只能用于求极限,不能用于传递极限值”以下极限等式(若某端极限存在,则另一端极限也存在且相等)成立的是:
(A) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x)+g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{A+g(x)}$
(B) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \left(h(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x)}\right)=0$
(C) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x) g(x)}=\frac{1}{A} \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{g(x)}$
(D) $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{2}}+\frac{f(x)}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{2}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$
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继续阅读“乘法中的极限可以代入,加法中的极限不能代入”设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant x\right \}$, 则 $I=\iint_{D}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了”已知,函数 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足方程 $f(t)=t^{2}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 则 $f(t)=?$
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继续阅读“有些解微分方程的题目需要先「求导」”把 $x^{2}$ 看成 $y$ 的函数,求解微分方程 $\left(y^{4}-3 x^{2}\right) \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} x=0$, 则该方程的通解是( )
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继续阅读“这个「反直觉」的微分方程你会解吗?”已知,函数 $f(x)$ 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-4 x$, 且由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 以及 $x$ 轴可围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小,则 $f(x)=?$
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继续阅读“一阶线性微分方程和极值结合的题目”方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为
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继续阅读“看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候,很可能就是齐次微分方程”已知 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解,则该微分方程是?
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继续阅读“如何根据微分方程的特解找出通解,进而还原这个微分方程?”$x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x \sin \frac{y^{\prime}}{x}$ 的通解是( )
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继续阅读“遇到不能用公式的二阶微分方程怎么办:先尝试降为一阶微分方程”已知 $a>0$, 则:
$$
I=\int_{0}^{a} x^{3} \sqrt{\frac{x}{a-x}} \mathrm{~d} x=?
$$
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继续阅读“被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办:整体代换”$$
I=\int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“在计算无穷限积分的时候,要注意应用极限的思想”