乘法对间断点的「弥合」作用强于加法

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内都有定义,且 $x=x_{1}$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_{2}$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点,则:

(A) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$

(B) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$

(C) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$

(D) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$

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洛必达法则只能用于求极限,不能用于传递极限值

一、题目题目 - 荒原之梦

以下运算和结论都正确的有哪些?

(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)}{1}=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$ $=$ $\frac{4}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{5}}=\cdots=\infty$

(2) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复,所以该极限不存在。

(3) 由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型,由洛必达法则, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$

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乘法中的极限可以代入,加法中的极限不能代入

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以下极限等式(若某端极限存在,则另一端极限也存在且相等)成立的是:

(A) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x)+g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{A+g(x)}$

(B) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \left(h(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x)}\right)=0$

(C) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x) g(x)}=\frac{1}{A} \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{g(x)}$

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{2}}+\frac{f(x)}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{2}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$

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当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了

一、题目题目 - 荒原之梦

设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant x\right \}$, 则 $I=\iint_{D}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$

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看上去像可分离变量的微分方程但“分不开”的时候,很可能就是齐次微分方程

一、题目题目 - 荒原之梦

方程 $\left(y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 满足条件 $y(1)=0$ 的特解为

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如何根据微分方程的特解找出通解,进而还原这个微分方程?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $y_{1}=\cos 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$, $y_{2}=\sin 2 x-\frac{1}{4} x \cos 2 x$ 是某二阶线性常系数非齐次微分方程的两个解, $y_{3}=\cos 2 x$ 是它所对应的齐次方程的一个解,则该微分方程是?

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