线性代数归档 - 第30页共41页

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。则，以下哪个选项是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵的正确表示方法？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{- \top}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{*}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{\top}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{-1}$

答案

$\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{-1}}$ 表示矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵

问题

已知 $m$ 和 $n$ 均为常数，$\boldsymbol{A}$ 表示矩阵，则以下哪个行列特征结构的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 最有可能是可逆矩阵？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}_{n \times m}$

[B]. $\boldsymbol{A}_{n \times 1}$

[C]. $\boldsymbol{A}_{n \times n}$

[D]. $\boldsymbol{A}_{1 \times m}$

答案

$\boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{orange}{n}}$ 或者 $\boldsymbol{A}_{\textcolor{cyan}{m} \times \textcolor{cyan}{m}}$

伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 相等

[B]. 不相等

答案

不相等
$(\boldsymbol{A} \textcolor{cyan}{+} \boldsymbol{B})^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$ $\textcolor{cyan}{+}$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{orange}{*}}$

用逐步简化的方法记忆泰勒公式（泰勒定理）

一、问题描述

泰勒公式在极限运算、无穷小代换等方面的解题过程中都有着重要的作用，但对泰勒公式的记忆有时候却很麻烦——在本文中，荒原之梦网为大家提供一种通过“逐步简化”的方法来记忆泰勒公式的步骤，以加强我们对于泰勒公式的掌握。

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伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是三阶或者大于三阶的方阵，$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数，则 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-2}$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{n-2}}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$ $=$ $\textcolor{red}{|\boldsymbol{A}|}^{\textcolor{cyan}{n-2}}$ $\boldsymbol{\textcolor{white}{A}}$
其中，$n$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的阶数，$n$ $\geq$ $3$.

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等
$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{T}}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，我们知道：
$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$

那么，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{-1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{2}} \boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ $=$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$

伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ 是否相等？

选项

[A]. 不相等

[B]. 相等

答案

相等

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right)^{\textcolor{gray}{-1}}$ $=$ $\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{gray}{-1}}\right)^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\boldsymbol{A A}^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{} \boldsymbol{A}$ 的值（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，已知：
$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$

则，$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $- |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$

[B]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

[C]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$

答案

$\boldsymbol{A A}^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ $=$ $\textcolor{orange}{|\boldsymbol{A}|} \textcolor{cyan}{\boldsymbol{E}}$

伴随矩阵的性质：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{}$ 与 $\boldsymbol{A}^{}$ $\boldsymbol{A}$ 的关系（C009）

问题

根据伴随矩阵的性质，$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $\boldsymbol{A}$ 是否相等

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
$\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{*}}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{*}}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$

一个复合函数求二阶偏导的例题：$u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$

一、题目

已知，有 $u(x, y)$ $=$ $u(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$, $r$ $=$ $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ $>$ $0$.

并且已知函数 $u(x, y)$ 有二阶连续的偏导数，要求计算：

$\frac{\partial u}{\partial x}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}$、$\frac{\partial u}{\partial y}$、$\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}$.

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伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{A B})^{*}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$

[B]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*}$

[C]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$

[D]. $(\boldsymbol{A B})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$

答案

$(\boldsymbol{A B})^{\textcolor{cyan}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{cyan}{*}} \boldsymbol{A}^{\textcolor{cyan}{*}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{*}$

伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n+1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[B]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

[C]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{n-1}$ $\boldsymbol{A}^{*}$

答案

$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{\textcolor{red}{*}}$ $=$ $\boldsymbol{k}^{\textcolor{orange}{n-1}}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}$

伴随矩阵的性质：$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$（C009）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是二阶或者大于二阶的方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n}$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n+1}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{*}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{\textcolor{orange}{n-1}}$

伴随矩阵的计算（C009）

问题

已知，有矩阵 $Z$ $=$ $\begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} \\ a_{2 1} & a_{2 2} \end{bmatrix}$, 且 $M_{i j}$ 表示该矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式，$A_{i j}$ 表示该矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的代数余子式。
则，该矩阵的伴随矩阵 $Z^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} M_{1 1} & M_{1 2} \\ M_{2 1} & M_{2 2} \end{bmatrix}$

[B]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} A_{1 1} & A_{1 2} \\ A_{2 1} & A_{2 2} \end{bmatrix}$

[C]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} M_{1 1} & M_{2 1} \\ M_{1 2} & M_{2 2} \end{bmatrix}$

[D]. $Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} A_{1 1} & A_{2 1} \\ A_{1 2} & A_{2 2} \end{bmatrix}$

答案

$Z^{*}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{red}{A}_{\textcolor{orange}{1} \textcolor{orange}{1}} & \textcolor{red}{A}_{\textcolor{cyan}{2} \textcolor{cyan}{1}} \\ \textcolor{red}{A}_{\textcolor{orange}{1} \textcolor{orange}{2}} & \textcolor{red}{A}_{\textcolor{cyan}{2} \textcolor{cyan}{2}} \end{bmatrix}$