$\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ 的关系（C010）

问题

已知 $k$ 为常数，且 $k$ $\neq$ $0$, 则根据可逆矩阵的性质，$\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}^{-1}}$ 与 $\textcolor{orange}{(k \boldsymbol{A})^{-1}}$ 之间有着怎样的关系？

选项

[A]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $k$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[B]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[C]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\frac{-1}{k}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

[D]. $(k \boldsymbol{A})^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

答案

$(\textcolor{orange}{k} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}})^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\frac{1}{k}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}^{\textcolor{red}{-1}}$

$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $\boldsymbol{b}$（C010）
矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$（C008）
逆矩阵的定义（C010）
$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$（C010）
伴随矩阵的性质：$\boldsymbol{A A}^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}$ 的值（C009）
矩阵乘法运算的规律：$($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$（C008）
矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$（C008）
$\boldsymbol{A}^{-1}$ 和 $\boldsymbol{A}$ 的关系（C010）
方阵的幂运算规律：$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{k}$ 与 $\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{B}^{k}$ 的关系（C008）
旋度的定义（B022）
第二类曲线积分中常数的运算性质/线性（B017）
矩阵加法运算的结合律（C008）
伴随矩阵的性质：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{*}$ 与 $\boldsymbol{A}^{*}$ $\boldsymbol{A}$ 的关系（C009）
$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{E}$（C010）
$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{x}$ $=$ $0$（C010）
矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$（C008）
伴随矩阵的性质：$\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}$ 与 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}$ 的值（C009）
矩阵乘法运算的规律：$($ $\boldsymbol{A B}$ $)$ $\boldsymbol{C}$（C008）
矩阵的运算规律：$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$（C008）
伴随矩阵的性质：$(\boldsymbol{k} \boldsymbol{A})^{*}$（C009）
矩阵数乘的运算规律：$\lambda$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$（C008）
矩阵的运算规律：$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}$（C008）
第二类曲线积分中积分路径的可加性（B017）
$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件：$|\boldsymbol{A}|$（C010）
若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $k \boldsymbol{A}$ 是否可逆？（C010）

问题

选项

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