分类： 高等数学

$f(x)$ $<$ $M$

$|f(x)|$ $<$ $M$

$|x_{n}|$ $\leqslant$ $M$

若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $A$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $f(x)$ $=$ $B$, 则 $A$ $=$ $B$.

Tips: 极限若存在，必唯一.

$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ $=$ $e$

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x}{x}$ $=$ $1$

单调有界数列必存在极限

$g(x)$ $\leqslant$ $f(x)$ $\leqslant$ $h(x)$ 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $g(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \square}$ $h(x)$ $=$ $A$

$y_{n}$ $\leqslant$ $x_{n}$ $\leqslant$ $z_{n}$ 且 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $y_{n}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $z_{n}$ $=$ $a$

$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $A$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $A$

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+1}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{3n+2}$ $=$ $A$

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n+1}$ $=$ $A$

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{2n-1}$ $=$ $A$