已知函数 $u(x, y)$ 满足 $2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ $-$ $2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ $+$ $3 \frac{\partial u}{\partial x}$ $+$ $3 \frac{\partial u}{\partial y}$ $=$ $0$, 求 $a$, $b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)$ $=$ $v(x, y) \mathrm{e}^{ax + by}$ 下，上述等式可化为 $v(x, y)$ 不含一阶偏导数的等式.
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继续阅读“2019年考研数二第20题解析：二元函数偏导数、一阶偏导数、二阶偏导数”设 $n$ 为正整数，记 $S_{n}$ 为曲线 $y = \mathrm{e}^{-x} \sin x$ $\left( 0 \leqslant x \leqslant n \pi \right)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积，求 $S_{n}$, 并求 $\lim_{n \rightarrow \infty } S_{n}$.
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继续阅读“2019年考研数二第19题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列”
下面的函数怎么做求导操作，计算速度更快一些：
$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{3} \\ \\
y_{2} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{6}
\end{aligned}
$$
我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：
$$
f(x + T) = f(x)
$$
其中，常数 $T \neq 0$ 就是周期函数 $f(x)$ 的最小正周期。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——
由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。
继续阅读“周期函数的兄弟：波纹函数”已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ $=$ $-16$, 则在点 $x = 0$ 处 $f(x)$ ( )
»A« 取得极大值.
»C« 不可导.
»B« 取得极小值.
»D« 可导，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 是两种核心未定式。
既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。
在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。
继续阅读“关于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性”已知平面区域 $D$ $=$ $\left\{ \left(x, y \right) \ \biggm\vert \ |x| \leqslant y, \ \left( x^{2} + y^{2} \right)^{3} \leqslant y^{4} \right\}$, 计算二重积分 $\iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$.
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继续阅读“2019年考研数二第18题解析：利用对称性和极坐标求解二重定积分”$$
I = \lim_{ x \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}} \right] = ?
$$
不同的数学式子之间相对而言的复杂度肯定是不相同的，但是，我们该如何衡量这里所说的“复杂度”呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」基于乘除法和加减法计算难度的不同，提出了一种衡量式子复杂度的新方式。
继续阅读“基于乘除法相对含量的式子复杂度定义”若函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ $=$ $?$
»A« $n! f^{2n}(x)$
»B« $n! f^{n+1}(x)$
»C« $n f^{2n}(x)$
»D« $n f^{n+1}(x)$
在高等数学中，极限问题是一类非常重要的问题。而极限类问题又常常表现为一些 未 定 式 的形式。
但是，什么样的式子是“ 真 未 定 式 ”？什么样的式子是“ 假 未 定 式 ”？对于这些未定式我们又该使用什么样的方法进行转换呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过解题思路简图为同学们做一个详细的讲解。
继续阅读“高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
传统上，关于“尖点为什么不可导”，其实并不构成一个“问题”，因为，尖点就是依据其不可导性被定义的。
但是，在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于最基本的数学公理，从全新的“峰”式视角，为同学们解释为什么尖点一定是不可导点，从而让同学们对有关知识建立更加深刻和形象的理解。
继续阅读“峰图 | 为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点””什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？
如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。
例如，图 01 和图 02 中的点 $O (0,0)$ 都是尖点，在点 $O (0, 0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：
但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落 圆 法 ”，让同学们利用直观的 几 何 性 质 理解“ 尖 点 ”和“ 非 尖 点 ”的区别。
继续阅读“峰图 | 判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法”在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x = 0$ 或者 $x \rightarrow 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。
继续阅读“峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？”在高等数学的一些题目中（假设变量为 $x$），我们会遇到需要区分：
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow 0^{+}$ 和 $x \rightarrow 0^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow k^{+}$ 和 $x \rightarrow k^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow + \infty$ 和 $x \rightarrow – \infty$
的情况（其中 $k$ 为常数）。
以及不需要区分正负，只需要考虑：
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow 0$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow k$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow \infty$
的情况。
那么，我们该怎么判度一个含有极限的极限式子是否需要考虑极限的正负呢？
在本文中，「 荒 原 之 梦 考 研 数 学 」将通过思路图和例题，为同学们讲清楚这个问题。
继续阅读“极限什么时候需要区分正负，什么时候不需要区分正负？”