一、题目
若函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ $=$ $?$
»A« $n! f^{2n}(x)$
»B« $n! f^{n+1}(x)$
»C« $n f^{2n}(x)$
»D« $n f^{n+1}(x)$
二、解析 
由于 $f ^{\prime} (x)$ 和 $f^{2}(x)$ 相等，因此，本题是一道求导运算和次幂运算“强相关”的题目，这类题目涉及的函数一般都是基本初等函数中的倒数函数，例如这里的函数 $y_{3}$ 和函数 $y_{4}$ 都具有此类性质。
具体到本题，事实上，若我们令 $f(x)$ $=$ $\frac{-1}{x}$, 则就可以满足题目所给条件 $f^{\prime}(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 当然也满足本题的结论 $f^{(n)}(x)$ $=$ $n! f^{n+1}(x)$.
由题可知 $\textcolor{lightgreen}{ f^{\prime}(x) }$ $\textcolor{lightgreen}{=}$ $\textcolor{lightgreen}{ f^{2}(x) }$, 于是：
$$
\begin{aligned}
& \textcolor{orange}{ f^{\prime \prime}(x) } = \left[\textcolor{lightgreen}{ f^{\prime}(x) } \right]^{\prime} = \left[ \textcolor{lightgreen}{ f^{2}(x) } \right]^{\prime} = 2 f(x) f^{\prime}(x) = \textcolor{orange}{ 2 f^{3}(x) } \\ \\
& f^{\prime \prime \prime}(x) = \left[ \textcolor{orange}{ f^{\prime \prime}(x) } \right]^{\prime} = \left[ \textcolor{orange}{ 2f^{3}(x) } \right]^{\prime} = 3 \times 2 \times f^{2}(x) \cdot f^{\prime}(x) = 3! f^{4}(x) \\ \\
& f^{(4)}(x) = 4! f^{4+1} (x) \\ \\
& \vdots \\ \\
& \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ f^{(n)}(x) = n! f^{n+1}(x) }}
\end{aligned}
$$
综上可知，»B« 选 项 正 确.
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