高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图

一、前言

在高等数学中，极限问题是一类非常重要的问题。而极限类问题又常常表现为一些 未 定 式 的形式。

但是，什么样的式子是“ 真 未 定 式 ”？什么样的式子是“ 假 未 定 式 ”？对于这些未定式我们又该使用什么样的方法进行转换呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过解题思路简图为同学们做一个详细的讲解。

二、正文

解题结构图

2+5 种 真 未 定 式

首先，所有的未定式都要转换为以下 $2$ 种 核 心 未 定 式 ：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{
\frac{0}{0} \quad \quad \frac{\infty}{\infty}
}
\end{aligned}
$$

因为对于上面这 $2$ 种形式的 核 心 未 定 式 ，可以使用等价无穷小、等价无穷大、泰勒公式或者洛必达运算等多种方式实现极限的求解或者极限存在与否的判断。

于是，以下 $5$ 种 一 般 未 定 式 的解题思路就是往以上 $2$ 种 核 心 未 定 式 的形式上转换：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{orange}{\blacktriangleright} \ \textcolor{lightgreen}{ 0 \cdot \infty } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{恒等变形} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\frac{0}{\textcolor{violet}{ \frac{1}{0} }} \\ \\
\frac{\infty}{\textcolor{violet}{ \frac{1}{\infty} }}
\end{cases} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
\frac{0}{0} \\
\frac{\infty}{\infty}
\end{cases} } \\ \\ \\
& \textcolor{orange}{\blacktriangleright} \ \textcolor{lightgreen}{ \infty – \infty } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \text{ 通分 } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \frac{(\infty – \infty) (\textcolor{violet}{ \infty + \infty })}{\textcolor{violet}{ \infty + \infty }} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
\frac{0}{0} \\
\frac{\infty}{\infty}
\end{cases} } \\ \\ \\
& \textcolor{orange}{\blacktriangleright} \ \textcolor{lightgreen}{ \infty^{0} } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \mathrm{e}^{\textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{orange}{\ln \infty}} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\mathrm{e}^{\textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{orange}{\infty}} \\ \\
\mathrm{e}^{\frac{ \textcolor{orangered}{0} }{ \frac{1}{\textcolor{orange}{\infty}} }} \\ \\
\mathrm{e}^{\frac{\textcolor{orange}{\infty}}{\frac{1}{\textcolor{orangered}{0}}}}
\end{cases} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
\frac{0}{0} \\
\frac{\infty}{\infty}
\end{cases} } \\ \\ \\
& \textcolor{orange}{\blacktriangleright} \ \textcolor{lightgreen}{ 0^{0} } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \mathrm{e}^{\textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{orange}{\ln \infty}} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\mathrm{e}^{\textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{orange}{\infty}} \\ \\
\mathrm{e}^{\frac{ \textcolor{orangered}{0} }{ \frac{1}{\textcolor{orange}{\infty}} }} \\ \\
\mathrm{e}^{\frac{\textcolor{orange}{\infty}}{\frac{1}{\textcolor{orangered}{0}}}}
\end{cases} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
\frac{0}{0} \\
\frac{\infty}{\infty}
\end{cases} } \\ \\ \\
& \textcolor{orange}{\blacktriangleright} \ \textcolor{lightgreen}{ 1^{\infty} } \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \mathrm{e}^{\textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{orange}{\ln \infty}} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \begin{cases}
\mathrm{e}^{\textcolor{orangered}{0} \cdot \textcolor{orange}{\infty}} \\ \\
\mathrm{e}^{\frac{ \textcolor{orangered}{0} }{ \frac{1}{\textcolor{orange}{\infty}} }} \\ \\
\mathrm{e}^{\frac{\textcolor{orange}{\infty}}{\frac{1}{\textcolor{orangered}{0}}}}
\end{cases} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
\frac{0}{0} \\
\frac{\infty}{\infty}
\end{cases} } \\ \\ \\
\end{aligned}
$$

1+1 种 假 未 定 式

「荒原之梦考研数学」这里要说的 假 未 定 式 就是 $\textcolor{yellow}{0-0}$ 和 $\textcolor{yellow}{\infty + \infty}$.

这是因为 $\textcolor{yellow}{0-0}$ 和 $\textcolor{yellow}{\infty + \infty}$ 其实都是“定式”而非不定式，因为下面两个式子一定成立：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
0-0 & = 0 \\
\infty + \infty & = \infty
\end{aligned}
}
$$

但是，$\frac{0}{0}$ 型 核 心 未 定 式 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型 核 心 未 定 式 又有很多变形式：

$$
\begin{aligned}
\frac{0}{0} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \begin{cases}
\frac{0}{\textcolor{yellow}{0-0}} \\ \\
\frac{\textcolor{yellow}{0-0}}{0} \\ \\
\frac{\textcolor{yellow}{0-0}}{\textcolor{yellow}{0-0}}
\end{cases} \\ \\ \\
\frac{\infty}{\infty} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \begin{cases}
\frac{\infty}{\textcolor{yellow}{\infty + \infty}} \\ \\
\frac{\textcolor{yellow}{\infty + \infty}}{\infty} \\ \\
\frac{\textcolor{yellow}{\infty + \infty}}{\textcolor{yellow}{\infty + \infty}}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

如果是在上述 核 心 未 定 式 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 的变形式中存在 假 未 定 式 $0-0$ 或者 $\infty + \infty$, 则要将整个分式看作 真 未 定 式 。

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