为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”

一、前言

传统上，关于“尖点为什么不可导”，其实并不构成一个“问题”，因为，尖点就是依据其不可导性被定义的。

但是，在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于最基本的数学公理，从全新的“峰”式视角，为同学们解释为什么尖点一定是不可导点，从而让同学们对有关知识建立更加深刻和形象的理解。

二、正文

为什么可导点是“双胞胎点”

我们知道，数学是建立在一些不证自明的公理之上的，其中一条公理为：

“两点确定一条直线。”

那么，既然至少需要两个点才能确定一条直线，同样属于直线的“切线”自然也需要至少两个点才能确定。

例如，如果要寻找函数 $f(x)$ $=$ $(x – 6)^{2} + 2$ 在坐标为 $(5, 3)$ 的点 $\alpha_{12}$ 处的切线，那么，我们可以在函数 $f(x)$ 上随便选取两个点 $a_{1}$ 和 $a_{2}$, 并以这两个点为基准，连接形成一条直线，如图 01 所示：

但很显然，图 01 中的直线并不是函数 $f(x)$ 在点 $\alpha_{12}$ 处的切线。

所以，我们让点 $\alpha_{1}$ 和点 $\alpha_{2}$ 分别沿着函数 $f(x)$ 的函数图像，向点 $\alpha_{12}$ 移动，逐渐逼近点 $\alpha_{12}$, 如图 02 所示：

于是，当点 $\alpha_{1}$ 和点 $\alpha_{2}$ 之间的距离足够近的时候，就可以被看作到达了点 $\alpha_{12}$, 从而，连接点 $\alpha_{1}$ 和点 $\alpha_{2}$ 所得到的直线，就是点 $\alpha_{12}$ 的切线，如图 03 所示：

从上面的过程可以看到，函数 $f(x)$ 在点 $\alpha_{12}$ 处的切线，实际上是基于两个点 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 形成的——

换句话说，点 $\alpha_{12}$ 实际上并不是一个点，而是“两个点”，但这两个点又距离足够近，以至于可以被看作一个点，因此，我们就称这样 具 有 两 个 点 的 性 质 但 表 现 为 一 个 点 的 形 式 的 点 为“ 双 胞 胎 点 ”。

事实上，由于函数上可导的点（即切线存在的点），一定是如上所定义的“双胞胎点”，所以，如果一个点不是“双胞胎点”，那么，这个点就是一个不可导点（即切线不存在的点）。

为什么尖点不可导

根据「荒原之梦考研数学」的《判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法》这篇文章可知，尖点是“独生子点”而非“双胞胎点”，再结合本文前面所得的“只有双胞胎点是可导点”的结论可知，尖点一定是不可导点。

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