判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法

一、前言

直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？

如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。

例如，图 01 和图 02 中的点 $O (0,0)$ 都是尖点，在点 $O (0, 0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：

但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落 圆 法 ”，让同学们利用直观的 几 何 性 质 理解“ 尖 点 ”和“ 非 尖 点 ”的区别。

二、正文

非尖点的“落圆法”几何特征

如图 03, 04, 05 和 06 所示，图中四个圆形的直径分别为 $a$, $b$, $c$, $d$, 且 $a$ $>$ $b$ $>$ $c$ $>$ $d$ $>$ $0$.

虽然图 03, 04 和 05 中的圆形没有与点 $\alpha$ 相切，但由于 $\alpha$ 不是一个尖点，所以，我们总能找到一个直径 $r$ $=$ $d$ $>$ $0$ 的圆形，使其与点 $\alpha$ 左右两侧邻域对应的函数图像重合（图 06）：

通过上面的过程可以看到，随着圆形直径的不断减少，我们总能找到一个大小合适且直径不为零的圆形，使其与 $\alpha$ 点这个“非尖点”完美重合。

尖点的“落圆法”几何特征

如图 07, 08, 09 和 10 所示，图中四个圆形的直径分别为 $a$, $b$, $c$, $d$, 且 $a$ $>$ $b$ $>$ $c$ $>$ $d$ $>$ $0$, 但无论我们令圆形的直径有多小，始终不能找到一个大小合适且直径不为零的圆形，使其与 $\beta$ 点这个“尖点”完美重合。

事实上，当圆形的直径等于零的时候，就可以做到与 $\beta$ 点这个“尖点”完美重合，但直径为零的圆已经是一个点，而非一个圆了，如图 11 所示：

落圆法中的“圆”不一定是“落下的”

所谓“落圆法”只是对该方法的一个形象叫法，在具体使用的时候，用于逼近目标点的圆形可能是从任意一个方向朝目标点移动的（例如，可能表现为“升圆”）。

事实上，该方法的核心思想就是用一个直径大于零的圆形去逼近一个点及其附近的函数图象，如果可以做到，则这个点就不是尖点，如果不可以做到（或者说必须在圆形的直径等于零时才能做到），则这个点就是一个尖点。

“双胞胎点”和“独生子点”

结合「荒原之梦考研数学」的《为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”》这篇文章所提出的“切线一定由两个点确定”思考角度可知，既然非尖点 $\alpha$ 是可导点，那么，点 $\alpha$ 其实是“双胞胎点”，而不可导的 $\beta$ 点（即“尖点”），则就是真正意义上“独生子点”，即：

$$
\begin{aligned}
\text{ 双胞胎点 } & \textcolor{lightgreen}{ \leftrightsquigarrow } \text{ 可导点 } \textcolor{lightgreen}{ \leftrightsquigarrow } \text{ 非尖点 } \\
\text{ 独生子点 } & \textcolor{lightgreen}{ \leftrightsquigarrow } \text{ 不可导点 } \textcolor{lightgreen}{ \leftrightsquigarrow } \text{ 尖点 }
\end{aligned}
$$

拓展资料

另一种判断函数尖点的方法：函数本体偏离点必为尖点.

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